Question

【題目】如圖1，已知拋物線L：y=ax2+bx﹣1.5(a＞0)與x軸交于點A(-1,0)和點B，頂點為M，對稱軸為直線l：x=1.

（1）直接寫出點B的坐標及一元二次方程ax2+bx﹣1.5=0的解．

（2）求拋物線L的解析式及頂點M的坐標．

（3）如圖2，設點P是拋物線L上的一個動點，將拋物線L平移．使它的頂點移至點P，得到新拋物線L′，L′與直線l相交于點N．設點P的橫坐標為m

①當m=5時，PM與PN有怎樣的數量關系？請說明理由．

②當m為大于1的任意實數時，①中的關系式還成立嗎？為什么？

③是否存在這樣的點P，使△PMN為等邊三角形？若存在．請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）x1=﹣1，x2=3；（2）y=0.5x2﹣x﹣1.5，頂點M的坐標為（1，﹣2）；（3）①PM=PN；理由見解析；②PM=PN仍然成立．理由見解析；③點P的坐標為（，﹣）．

【解析】

（1）由y=ax2+bx-1.5（a＞0）與x軸交于點A（-1，0）和點B，對稱軸為直線l：x=1，根據拋物線的對稱性可求得B點坐標，根據二次函數與一元二次方程的關系可得A、B兩點橫坐標的值即為一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解；

（2）把A、B兩點的坐標代入y=ax2+bx-1.5，得到關于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值，得到拋物線L的解析式，再利用配方法化為頂點式，即可得到頂點M的坐標；

（3）作PC⊥l于點C．

①根據點P是拋物線L上的一個動點及（2）中所求解析式，當m=5時，把x=5代入y=（x-1）2-2，求出y=6，得到P點坐標，從而得到點C的坐標，由點P為新拋物線L′的頂點及解析式平移的規律得出L′的解析式，再求出點N的坐標，通過計算得出CM=CN，然后根據線段垂直平分線的性質即可得出PM=PN；

②根據點P是拋物線L上的一個動點及（2）中所求解析式，得出點P的坐標為（m，m2-m-1.5），從而得到點C的坐標，由點P為新拋物線L′的頂點及解析式平移的規律得出L′的解析式為y=（x-m）2+m2-m-1.5，再求出點N的坐標，通過計算得出CM=CN，然后根據線段垂直平分線的性質即可得出PM=PN；

③當△PMN為等邊三角形時，根據等腰三角形三線合一的性質得出PC平分∠MPN，即∠CPN=30°，利用正切函數定義得出=tan30°，即m2-m+1.5=（m-1），解方程求出m的值，進而得到點P的坐標．

（1）如圖1，

∵y=ax2+bx-1.5（a＞0）與x軸交于點A（-1，0）和點B，對稱軸為直線l：x=1，

∴點A和點B關于直線l：x=1對稱，

∴點B（3，0），

∴一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解為x1=-1，x2=3；

（2）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-1.5，

得，

解得，

拋物線L的解析式為y=x2-x-1.5，

配方得，y=（x-1）2-2，

所以頂點M的坐標為（1，-2）；

（3）如圖2，作PC⊥l于點C．

①∵y=（x-1）2-2，

∴當m=5，即x=5時，y=6，

∴P（5，6），

∴此時L′的解析式為y=（x-5）2+6，點C的坐標是（1，6）．

∵當x=1時，y=14，

∴點N的坐標是（1，14）．

∵CM=6-（-2）=8，CN=14-6=8，

∴CM=CN．

∵PC垂直平分線段MN，

∴PM=PN；

②PM=PN仍然成立．

由題意有點P的坐標為（m，m2-m-1.5）．

∵L′的解析式為y=（x-m）2+m2-m-1.5，

∴點C的坐標是（1，m2-m-1.5），

∴CM=m2-m-1.5+2=m2-m+．

∵在L′的解析式y=（x-m）2+m2-m-1.5中，

∴當x=1時，y=m2-2m-1，

∴點N的坐標是（1，m2-2m-1），

∴CN=（m2-2m-1）-（m2-m-1.5）=m2-m+，

∴CM=CN．

∵PC垂直平分線段MN，

∴PM=PN；

③存在這樣的點P，使△PMN為等邊三角形．

若=tan30°，則m2-m+=（m-1），

解得m=，

所以點P的坐標為（，-）．