Question

【題目】定義：兩個相似等腰三角形，如果它們的底角有一個公共的頂點，那么把這兩個三角形稱為“關聯等腰三角形”．如圖，在與中， ，且所以稱與為“關聯等腰三角形”，設它們的頂角為，連接，則稱會為“關聯比"．

下面是小穎探究“關聯比”與α之間的關系的思維過程，請閱讀后，解答下列問題：

[特例感知]

當與為“關聯等腰三角形”，且時，

①在圖1中，若點落在上，則“關聯比”=

②在圖2中，探究與的關系，并求出“關聯比”的值．

[類比探究]

如圖3，

①當與為“關聯等腰三角形”，且時，“關聯比”=

②猜想：當與為“關聯等腰三角形”，且時，“關聯比”= (直接寫出結果，用含的式子表示)

[遷移運用]

如圖4， 與為“關聯等腰三角形”．若點為邊上一點，且，點為上一動點，求點自點運動至點時，點所經過的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3）

【解析】

（1）①由α=90°可得△ABC與△AED為等腰直角三角形，斜邊AC=AB，AD=AE，而DC=AC-AD，EB=AB-AE，代入計算即求得＝．

②由△ABC與△AED為等腰直角三角形可得∠BAC=∠EAD=45°，減去公共角∠CAE得∠CAD=∠BAE，再加上兩夾邊成比例，證得△CAD∽△BAE，所以等于相似比．

（2）①過點E作EF⊥AD于點F，由α=120°可得∠EAD=30°，所以得到Rt△AED的三邊比，則AE=2EF，AF=EF，進而有AD=2AF=2EF，代入計算即求得＝．

②由α=n°可得∠EAD=90°-，又因為cos∠EAD=，所以得AF=AEcos（90°-），AD=2AF=2AEcos（90°-），根據①的證明過程可得＝=2cos（90°-）．

（3）過點B作BF⊥AC于點F，根據等腰直角三角形的條件求得PB的長，即求得點E自點B運動至點P時BE的長．連接CD，由（1）②的證明過程可知△CAD∽△BAE，所以∠ACD=∠ABE為一個定角，即點D所經過的路徑是線段CD．根據“關聯比”的值為，求得CD=EB=×＝．

解：（1）①∵當時,與為等腰直角三角形

故答案為：

②當時，

均為等腰直角三角形

又

“關聯比”為

①過點E作EF⊥AD于點F
∴∠AFE=90°
∵AE=DE，∠AED=α=120°

∴∠EAD=∠EDA=30°，AF=DF

∴AE=2EF，AF=EF

∴AD=2AF=2EF

∴

同理可證：∠BAC=30°，

∴∠EAD+∠CAE=∠BAC+∠CAE
即∠CAD=∠BAE
∴△CAD∽△BAE

故答案為：．

②過點E作EF⊥AD于點F

中，

由①的證明過程可得

故答案為：2cos

如圖，過點作于點

∵與為“關聯等腰三角形"，

，

與均為等腰直角三角形，

∵

連接，由上可知．≌

=定角，

點所經過的路徑是線段

∵時，“關聯比”為，

當點自點運動至點時，

點所經過的路徑