Question

【題目】如圖，在ABCD中，E是AD上一點，延長CE到點F，使∠FBC=∠DCE．

（1）求證：∠D=∠F；

（2）用直尺和圓規在AD上作出一點P，使△BPC∽△CDP（保留作圖的痕跡，不寫作法）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析．

【解析】

（1）BE交AD于G，先利用AD∥BC得到∠FBC=∠FGE，加上∠FBC=∠DCE，所以∠FGE=∠DCE，然后根據三角形內角和定理易得∠D=∠F；

（2）分別作BC和BF的垂直平分線，它們相交于點O，然后以O為圓心，OC為半徑作△BCF的外接圓⊙O，⊙O交AD于P，連結BP、CP，則根據圓周角定理得到∠F=∠BPC，而∠F=∠D，所以∠D=∠BPC，接著可證明∠PCD=∠APB=∠PBC，于是可判斷△BPC∽△CDP．

解：（1）BE交AD于G．如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FBC=∠FGE．

而∠FBC=∠DCE，∴∠FGE=∠DCE．

∵∠GEF=∠DEC，∴∠D=∠F；

（2）如圖，點P為所作．