Question

【題目】如圖：直線y=-x+5分別與軸、軸交于A、B兩點．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）已知點C坐標為（4,0），設點C關于直線AB的對稱點為D，請直接寫出點D的坐標；

（3）請在直線AB找一點M和軸上找一點N，使△CMN的周長最短，求出點N的坐標和△CMN的周長．

Answer 1

【答案】（1）A（5，0）；B（0，5）；（2）D（5，1）；（3）N(0，) ；

【解析】

（1）令x=0，則y=5；令y=0，則x=5，即可求得；（2）首先根據直線AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根據軸對稱的性質即可求出點D的坐標；（3）作出點C關于直線y軸的對稱點C′，連接DE交AB于點M，交y軸于點N，則此時△CMN的周長最短．由D、E兩點的坐標利用待定系數法求出直線DC′的解析式，再根據y軸上點的坐標特征，即可求出點N的坐標．

(1) ∵直線分別與軸、軸交于A、B兩點

令，則；令，則

∴點A坐標為（5,0）、點B 坐標為（0, 5）；

(2)如圖：過A作直線l⊥x軸，作CD⊥AB交直線l于D，

∵OA=OB=5，

∴∠OAB=45°，

∵CD⊥AB，直線l⊥x軸，

∴∠DCA=45°，∠DAB=45°

∴∠CDA=45°，

∴AD=AC，

∵AB⊥CD，

∴AB垂直平分CD，

∴D即是C關于AB的對稱點，

∵A（5，0），C（4，0）

∴AC=AD=1，

∴ 點C 關于直線AB的對稱點D的坐標為（5，1），

(3) 作點C關于軸的對稱點C′，則C′的坐標為（-4,0）

連接C′D交AB于點M，交軸于點N，

∵點C、C′關于軸對稱

∴NC= NC′，

∵點C、D關于直線AB對稱，

∴CM=DM，

此時，△CMN的周長=CM+MN+NC= DM +MN+ NC′= DC′周長最短；

設直線C′D的解析式為

∵點C′的坐標為（-4,0），點D的坐標為（5,1）

∴，解得

∴直線C′D的解析式為，

與軸的交點N的坐標為 (0，)

根據勾股定理，或兩點間距離公式可求 △CMN的周長