Question

【題目】如圖，將△ABC沿射線BC平移得到△A′B′C′，使得點A′落在∠ABC的平分線BD上，連接AA′，AC′．

（1）判斷四邊形ABB′A′的形狀，并證明；

（2）在△ABC中，AB＝6，BC＝4，若AC′⊥A′B′，求四邊形ABB′A′的面積．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABB′A′是菱形，證明見解析；（2）

【解析】

（1）先根據平移的性質得出四邊形ABB′A′是平行四邊形，則有∠AA′B＝∠A′BC，再通過角平分線的定義通過等量代換得出∠AA′B＝∠A′BA，則有AB＝AA′，則可證明是菱形；

（2）過點A作AF⊥BC于點F，設AC′與A′B′交于點E，由AB∥A′B′可得出∠BAC′＝∠B′EC′＝90°，在Rt△ABC′中利用勾股定理求出AC′的長度，然后利用等面積法求出AF的長度，最后利用S菱形ABB′A′＝BB′·AF即可求出答案．

解：（1）四邊形ABB′A′是菱形．

證明如下：由平移得AB∥A′B′，AB＝A′B′，

∴四邊形ABB′A′是平行四邊形，

∴∠AA′B＝∠A′BC．

∵BA′平分∠ABC，

∴∠ABA′＝∠A′BC．

∴∠AA′B＝∠A′BA．

∴AB＝AA′．

∴是菱形；

（2）如解圖，過點A作AF⊥BC于點F，設AC′與A′B′交于點E．

由（1）得BB′＝BA＝6．

由平移得△A′B′C′≌△ABC，

∴B′C′＝BC＝4．

∴BC′＝10．

∵AC′⊥A′B′，

∴∠B′EC′＝90°．

∵AB∥A′B′，

∴∠BAC′＝∠B′EC′＝90°．

在Rt△ABC′中，AC′＝＝8．

∵S△ABC′＝AB·AC′＝BC′·AF，

∴AF＝＝．

∴S菱形ABB′A′＝BB′·AF＝．

即四邊形SABB′A′的面積是．