Question

【題目】如圖1，定義：在直角三角形ABC中，銳角α的鄰邊與對邊的比叫做角α的余切，記作ctanα，即ctanα==，根據上述角的余切定義，解下列問題：

（1）如圖1，若BC=3，AB=5，則ctanB= ；

（2）ctan60°= ；

（3）如圖2，已知：△ABC中，∠B是銳角，ctan C=2，AB=10，BC=20，試求∠B的余弦cosB的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）先利用勾股定理計算出AC=4，然后根據余切的定義求解；

（2）根據余切的定義得到ctan60°=，然后把tan60°=代入計算即可；

（3）作AH⊥BC于H，如圖2，先在Rt△ACH中利用余切的定義得到ctanC==2，則可設AH=x，CH=2x，BH=BC﹣CH=20﹣2x，接著再在Rt△ABH中利用勾股定理得到（20﹣2x）2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），所以BH=8，然后根據余弦的定義求解．

解：（1）∵BC=3，AB=5，

∴AC==4，

∴ctanB==；

（2）ctan60°===；

（3）作AH⊥BC于H，如圖2，

在Rt△ACH中，ctanC==2，

設AH=x，則CH=2x，

∴BH=BC﹣CH=20﹣2x，

在Rt△ABH中，∵BH2+AH2=AB2，

∴（20﹣2x）2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），

∴BH=20﹣2×6=8，

∴cosB===．