Question

7．先觀察表格，再解決問題．

項數	第一項	前兩項	前三項	前四項	前五項
式子①	1	1+2	1+2+3	1+2+3+4	1+2+3+4+5
式子②	12	12+22	12+22+32	12+22+32+42	12+22+32+42+52
兩個式子的比	1	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{3}{11}$

（1）1+2+3+4+5+…+40=820（直接寫出結果）；
（2）計算1²+2²+3²+4²+…+40²的值；
（3）計算2²+4²+6²+8²+…+40²的值．

Answer 1

分析 （1）這是一個等差數列，根據高斯求和公式直接求出即可；
（2）觀察表格的規律，式子①與式子②的比值通式為$\frac{3}{2n+1}$，根據（1）和這個通式即可求得結論；
（3）把2²+4²+6²+8²+…+40²化為2²×（1²+2²+3²+4²+…+20²），根據（2）即可求得結論．

解答 解：（1）1+2+3+4+5+…+40=$\frac{1}{2}$（1+40）×40=820，
故答案為：420；
（2）1²+2²+3²+4²+…+40²=$\frac{81}{3}$×（1+2+3+4+5+…+40）=$\frac{81}{3}$×820=22140；
（3）1+2+3+4+5+…+20=$\frac{1}{2}$×（1+20）×20=210
1²+2²+3²+4²+…+20²=$\frac{41}{3}$×（1+2+3+4+5+…+20）=$\frac{41}{3}$×210=2870，
2²+4²+6²+8²+…+40²=2²×（1²+2²+3²+4²+…+20²）=4×2870=11480．

點評 本題主要考查了等差數列，數字的變化，能根據表格的規律，得到式子①與式子②的比值通式為$\frac{3}{2n+1}$是解題的關鍵．