Question

【題目】（問題背景）

如圖1，在四邊形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系．

小吳同學(xué)探究此問題的思路是：將△BCD繞點D，逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點B，C分別落在點A，E處（如圖2），易證點C，A，E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE= CD，從而得出結(jié)論：AC+BC=CD

（簡單應(yīng)用）

（1）在圖1中，若AC=3， CD=，則AB= ．

（2）如圖3，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠C=45°，若AB=13，BC=12，求CD的長．

（拓展規(guī)律）

（3）如圖4，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，CD=n，則BC的長為 ．（用含m，n的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】（1） 5； （2）；（3） .

【解析】

（1）代入結(jié)論：AC+BC=CD，直接計算即可；

（2）如圖3，作輔助線，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得：∠ADB=∠ACB=90°，由弧相等可知所對的弦相等，得到滿足圖1的條件，所以AC+BC=CD，代入可得CD的長；

（3）如圖4，根據(jù)小吳同學(xué)的思路作輔助線，構(gòu)建全等三角形：將△BCD繞點D，逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點B，C分別落在點A，E處，得△BCD≌△AED，證明△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，從而得出結(jié)論．

（1）由題意知：AC+BC=CD，∴3+BC=×，∴BC=4，∴AB==5．

故答案為：5；

（2）如圖3，連接AC、BD、AD．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°．

∵=，∴AD=BD．

∵AB=13，BC=12，∴由勾股定理得：AC=5，由圖1得：AC+BC=CD，5+12=CD，∴CD=；

（3）如圖4．

∵∠ACB=∠ADB=90°，∴A、B、C、D在以AB為直徑的圓上，∴∠DAC=∠DBC，將△BCD繞點D，逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點B，C分別落在點A，E處，∴△BCD≌△AED，∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，∴∠ADC﹣∠ADC=∠ADE﹣∠ADC，即∠ADB=∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD．

∵AC=m，∴CE=，BC= AE=．