Question

已知直線y=x﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=﹣x²+mx+n經過點A和點C．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在直線CA上方的拋物線上是否存在點D，使得△ACD的面積最大？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）y=﹣x²+x﹣3；（2）存在，D點坐標為（2，）

解析試題分析：（1）由直線的解析式y=x﹣3，可先求出與坐標軸的交點坐標C點坐標為（0，﹣3），A點坐標為（4，0），然后把A點和C點坐標代入y=﹣x2+mx+n中得到關于m、n的方程組，解方程組求出m、n即可得到拋物線的解析式；
（2）過D點作直線AC的平行線y=kx+b，要使△ACD的面積最大，則直線y=kx+b與拋物線只有一個公共點，點D到AC的距離最大，根據兩直線平行問題得到k= ，過點D的直線解析式為y= x+b，然后把它與拋物線解析式組成方程組，利用方程組只有一組解和判別式的意義確定b的值，再得到方程組的解，從而得到D點坐標．
試題解析：（1）把x=0代入y=x﹣3得y=﹣3，則C點坐標為（0，﹣3），
把y=0代入y=x﹣3得x﹣3=0，解得x=4，則A點坐標為（4，0），
把A（4，0），C（0，﹣3）代入y=﹣x²+mx+n得，
解得，
所以二次函數解析式為y=﹣x²+x﹣3；
（2）存在．
過D點作直線AC的平行線y=kx+b，當直線y=kx+b與拋物線只有一個公共點時，點D到AC的距離最大，此時△ACD的面積最大，
∵直線AC的解析式為y=x﹣3，
∴k=，即y=x+b，
由直線y=x+b和拋物線y=﹣x²+x﹣3組成方程組得，消去y得到3x²﹣12x+4b+12=0，
∴△=12²﹣4×3×（4b+12）=0，解得b=0，
∴3x²﹣12x+12=0，解得x₁=x₂=2，
把x=2，b=0代入y=x+b得y=，
∴D點坐標為（2，）．
考點：1.待定系數法求二次函數解析式；2.二次函數圖象上點的坐標特征．