Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中（O為坐標(biāo)原點），已知拋物線y=x²+bx+c過點A（4，0），B（1，﹣3）．
（1）求b，c的值，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸為直線l，點P（m，n）是拋物線上在第一象限的點，點E與點P關(guān)于直線l對稱，點E與點F關(guān)于y軸對稱，若四邊形OAPF的面積為48，求點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，設(shè)M是直線l上任意一點，試判斷MP+MA是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及相應(yīng)的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）b=﹣4，c=0，拋物線的對稱軸為x=2，頂點為（2，﹣4）．
（2）點P的坐標(biāo)為（6，12）．
（3）存在，最小值為6．

解析試題分析：（1）用待定系數(shù)法就可求出b和c，再將解析式配成頂點式，就可以了．
（2）根據(jù)已知條件可得E（4﹣m，n）、F（m﹣4，n），從而得到PF=4，再由四邊形OAPF的面積為48可求出點P的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式就可求出點P的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)點E與點P關(guān)于直線l對稱可得MP=ME，則有MP+MA=ME+MA，再由“兩點之間線段最短”可得AE的長就是MP+MA的最小值，運用勾股定理就可解決問題．
試題解析：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過點A（4，0），B（1，﹣3），
∴．
解得：．
∴y=x²﹣4x=（x﹣2）²﹣4．
∴拋物線的對稱軸為x=2，頂點為（2，﹣4）．
（2）如圖1，

∵點P（m，n）與點E關(guān)于直線x=2對稱，
∴點E的坐標(biāo)為（4﹣m，n）．
∵點E與點F關(guān)于y軸對稱，
∴點F的坐標(biāo)為（m﹣4，n）．
∴PF=m﹣（m﹣4）=4．
∴PF=OA=4．
∵PF∥OA，
∴四邊形OAPF是平行四邊形．
∵S_?OAPF=OA•=4n=48，
∴n=12．
∴m²﹣4m=n=12．
解得：m₁=6，m₂=﹣2．
∵點P是拋物線上在第一象限的點，
∴m=6．
∴點P的坐標(biāo)為（6，12）．
（3）過點E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2，

在（2）的條件下，有P（6，12），E（﹣2，12），
則AH=4﹣（﹣2）=6，EH=12．
∵EH⊥x軸，即∠EHA=90°，
∴EA²=EH²+AH²=12²+6²=180．
∴EA=6．
∵點E與點P關(guān)于直線l對稱，
∴MP=ME．
∴MP+MA=ME+MA．
根據(jù)“兩點之間線段最短”可得：
當(dāng)點E、M、A共線時，MP+MA最小，最小值等于EA的長，即6．
考點：1、待定系數(shù)法；2、線段的性質(zhì)；3、勾股定理；4、關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)．.