Question

【題目】如圖，在矩形中，，，為對角線上一點，且，過作，分別交、于、。動點從點出發，以每秒1個單位長的速度在射線上運動。動點從點出發，以每秒1個單位長的速度在線段上沿方向運動。以為邊作等邊。已知、兩點同時出發，當點返回點時兩點同時停止運動。運動時間為秒.

（1）求線段，當點落在線段上時等于多少；

（2）設運動過程中與矩形的重疊部分面積為，請直接寫出與的函數關系式及自變量的取值范圍；

（3）將四邊形繞點旋轉一周，在此過程中，設直線分別與直線、交于點、，當是以為底角的等腰三角形時，求的長.

Answer 1

【答案】（1）線段BF=4，當點落在線段上時t=3；（2）見解析；（3）或，或.

【解析】

（1）根據矩形的性質，結合已知條件通過解直角三角形即可求解；

（2）分為四種情況，畫出圖形，求出各個三角形的面積，根據圖形即可得出答案；

（3）先根據解直角三角形,求得BF的長,再根據旋轉求得的長,最后根據四邊形BCGF旋轉后的兩種不同位置進行討論,求得DN的長.

（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=,

∴∠ABD=30，BD=，

∵DE=2BE，FG⊥BD，

∴DE=4，BE=2

∴；

∴當點R落在線段CD時，ΔPQR的高為，則底為6，所以t=3.

（2）四種情況如圖所示圖1，圖2,圖3，圖4

圖1所示，當時，，

圖2所示，當時，，

圖3 所示，當時，

圖4所示，當時， ；

（3）由（1）得BF=4，由旋轉可得BF'=BF=4，∠F'BC'=∠FBC=90°，∠BFG=∠BF'G'=60°，①如圖5，當△DMN是以∠MDN，∠MND為底角的等腰三角形時，∠N=30°，

∴tan∠BNF'=，

∴，即BN=4，

∴DN=BD+BN=6+4=10；

②如圖6，當△DMN是以∠MDN．∠NMD為底角的等腰三角形時，∠BNM=60°=∠BF'M，此時，F'與N重合，故BF'=BN=4，

∴DN=BD﹣BN=6﹣4．

故答案為：10或6﹣4