Question

【題目】如圖，在⊙O中，點P為直徑BA延長線上一點，PD切⊙O于點D、過點B作BH⊥PH，點H為垂足，BH交⊙O于點C，連接BD，CD．

（1）求證：BD平分∠ABH；

（2）若CD=2，∠ABD=30°，求⊙O的直徑的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4；

【解析】

（1）利用切線性質得OD⊥PH，則可證明BH∥OD，利用平行線的性質得∠2=∠3，加上∠1=∠3，從而得到∠1=∠2；
（2）連接OC，如圖，先證明△OCB為等邊三角形得到∠BOC=60°，再利用平行線的性質得到∠BOD=120°，所以∠DOC=60°，然后判定△OCD為等邊三角形，則OD=CD=2，從而得到⊙O的直徑的長．

（1）證明：∵PD切⊙O于點D，

∴OD⊥PH，

∵BH⊥PH，

∴BH∥OD，

∴∠2=∠3，

∵OD=OB，

∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2，

∴BD平分∠ABH；

（2）解：連接OC，如圖，

∵∠1=30°，

∴∠2=∠3=30°，

∴∠OBC=60°，

∴△OCB為等邊三角形，

∴∠BOC=60°，

∵BC∥OD，

∴∠BOD=180°﹣∠OBC=120°，

∴∠DOC=60°，

而OC=OD，

∴△OCD為等邊三角形，

∴OD=CD=2，

∴⊙O的直徑的長為4．