Question

【題目】若點A(3,3 )是正比例函數上一點，點M(m ,0)與點N(0 ,n)分別在x軸與y軸上，且∠MAN=90°.

（1）如圖1，當N點與原點O重合，求M點的坐標；

（2）如圖2，已知m,n都為正數，連接MN，若MN=，求△MON的面積.

Answer 1

【答案】（1）M點坐標為（6，0）；（2）

【解析】試題分析：（1）過點A作AD⊥x軸于D，由點A的坐標即可得出AD=OD=3，進而得出∠AOD=∠OAD=45°，再通過角的計算得出∠AMO=45°，從而得出AO=AM，根據等腰三角形的性質即可得出OM=2OD，由此即可得出點M的坐標；（2）過點A作AQ⊥x軸于Q，作AP⊥y軸于P，由點A的坐標結合矩形的性質即可得出四邊形APOQ是正方形，根據正方形的性質找出AP=AQ，再根據全等三角形的判定定理（ASA）即可證出△APN≌△AQM，從而得出PN=QM，通過邊與邊之間的關系結合勾股定理即可得出mn的值，將其代入三角形的面積公式即可得出結論．

試題解析：（1） 當N點與原點O重合時，如圖作AD⊥x軸于D,

∵ A（3，3）

∴ AD=OD=3

∴ ∠AOD=∠OAD=45°

又∵∠MAN＝90°

∴∠AMO＝90°－45°=45°

∴ AO＝AM,

∴OM=2OD=6

∴ M點坐標為（6，0）

（2）如圖作AQ⊥軸于Q，AP⊥軸于P,

則 ∠APO=∠AQO=90°

又∵∠POQ＝90°

∴ 四邊形APOQ是矩形,

∵ A（3，3），

∴ OP＝OQ=3,

∴ 四邊形APOQ是正方形，

∴ AP=AQ.

∵ ∠PAN+∠NAQ=90°, ∠QAM+∠NAQ=90°,

∴ ∠PAN=∠QAM.

∴ △APN ≌ △AQM ,

∴ PN=QM.

∵M (m , 0), N (0 , n)

∴ ON=n，OM=m,

∴ PM=3-n,QM=m-3,

∴ 3-n=m-3,即.

在Rt△MON中，

∴,即

∵，

∴，即

∴