Question

【題目】拋物線M：y=ax2-4ax+a-1（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），拋物線的頂點為D．

（1）拋物線M的對稱軸是直線______；

（2）當AB=2時，求拋物線M的函數表達式以及頂點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，直線l：y=kx+b（k≠0）經過拋物線的頂點D，直線y=n與拋物線M有兩個公共點，它們的橫坐標分別記為x1，x2，直線y=n與直線l的交點的橫坐標記為x3（x3＜4），若當-2≤n≤-1時，總有x1-x3＜x3-x2＜0，請結合函數的圖象，直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x=2；（2）y=x2+2x，頂點D的坐標為（2，）；（3）k的取值范圍：

【解析】

（1）根據對稱軸的公式進行計算即可；

（2）根據拋物線的對稱性以及對稱軸，分別求出A、B兩點坐標，然后再代入拋物線解析式中求出a值，即可解答；

（3）根據題意，畫出函數圖象，然后根據函數的圖象直接求出k的取值范圍即可．

解：（1）∵拋物線M：y=ax2-4ax+a-1（a≠0），

∴拋物線的對稱軸直線為：x=-==2．

故答案為：x=2；

（2）∵拋物線M：y=ax2-4ax+a-1（a≠0）的對稱軸為直線x=2，拋物線M與x軸的交點為點A，點B，（點A在點B的左側），AB=2，

∴點A、B的坐標分別為（1，0），（3，0），

將A的坐標代入拋物線的函數表達式，得a-4a+a-1=0，

解得a=-，

∴拋物線M的函數表達式為：y=x2+2x，

將拋物線M的函數表達式化為頂點式為：y=x2+2x=（x-2）2+，

∴頂點D的坐標為（2，）；

（3）如圖，由（2）知點D的坐標為（2，）．

∵直線y=n與直線l的交點橫坐標記為x3（x3＜4），且當-2≤n≤-1時，總有x1-x3＜x3-x2＜0，

∴直線l與y軸的交點在（0，-2）的下方，

∴b＜-2，

∵直線l：y=kx+b（k≠0）經過拋物線的頂點D，

∴2k+b=，∴b=-2k，

∴-2k＜-2，解得k＞．

故k的取值范圍：k＞．