Question

【題目】如圖1，在中，點D、E分別在AB、AC上，，，

求證：；

若，把繞點A逆時針旋轉到圖2的位置，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點，連接MN，PM，PN．

判斷的形狀，并說明理由；

把繞點A在平面內自由旋轉，若，，試問面積是否存在最大值；若存在，求出其最大值若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①△PMN是等腰直角三角形，理由詳見解析；②

【解析】

利用平行線分線段成比例定理得出比例式即可得出，即可得出結論；

利用三角形中位線定理和，判斷出，即：是等腰三角形，再判斷出，得出是等腰直角三角形；

先判斷出PM最大時，面積最大，即：點D在AB的延長線上，進而求出，即可得出PM的最大值即可．

解：，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

理由：點P，M分別是CD，DE的中點，

，，

點N，M分別是BC，DE的中點，

，，

，

，

是等腰三角形，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

由知，是等腰直角三角形，，

最大時，面積最大，

點D在AB的延長線上，

，

，

．

故答案為