Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點F是BC的中點，點E是邊AB上一點，且BE=2，連結DE，EF，并以DE，EF為邊作EFGD，連結BG，分別交EF和DC于點M，N，則 = ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點F是BC的中點，

∴BF=1，AD=2，

又∵BE=2，

∴AE=BF=1，DE= =FG，

又∵∠A=∠EBF=90°，

∴△ADE≌△BEF，

∴∠ADE=∠BEF，DE=EF，

又∵∠ADE+∠AED=90°，

∴∠BEF+∠AED=90°，

∴∠DEF=90°，

∴四邊形DEFG是正方形，

∴∠EFG=90°，DG=DE= ，

如圖，過B作BH⊥EF于H，

∵Rt△ABF中，EF= = ，

∴BH= = ，

∴Rt△BFH中，HF= = ，

∵BH∥FG，

∴△BHM∽△GFM，

∴ = = = ，

∴FM= ×FH= ，

∴EM=EF﹣FM= ﹣ = ，

∵EB∥DN，EM∥DG，

∴∠EBM=∠DNG，∠EMB=∠DGN，

∴△EBM∽△DNG，

∴ = = = ．

所以答案是： ．

【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質和矩形的性質的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．