Question

小明在課外學習時遇到這樣一個問題：

定義：如果二次函數(shù)y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常數(shù)）與y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常數(shù)）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

求函數(shù)y=﹣x²+3x﹣2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

小明是這樣思考的：由函數(shù)y=﹣x²+3x﹣2可知，a₁=﹣1，b₁=3，c₁=﹣2，根據(jù)a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂，b₂，c₂，就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

請參考小明的方法解決下面問題：

（1）寫出函數(shù)y=﹣x²+3x﹣2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；

（2）若函數(shù)y=﹣x²+mx﹣2與y=x²﹣2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m+n）²⁰¹⁵的值；

（3）已知函數(shù)y=﹣（x+1）（x﹣4）的圖象與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關(guān)于原點的對稱點分布是A₁，B₁，C₁，試證明經(jīng)過點A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)與函數(shù)y=﹣（x+1）（x﹣4）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)．”

　

  

Answer 1

（1）解：∵a₁=﹣1，b₁=3，c₁=﹣2，

∴﹣1+a₂=0，b₂=3，﹣2+c₂=0，

∴a₂=11，b₂=3，c₂=2，

∴函數(shù)y=﹣x²+3x﹣2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y=x²+3x+2；

（2）解：根據(jù)題意得m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，

∴（m+n）²⁰¹⁵=（﹣3+2）²⁰¹⁵=﹣1；

（3）證明：當x=0時，y=﹣（x+1）（x﹣4）=2，則C（0，2），

當y=0時，﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得x₁=﹣1，x₂=4，則A（﹣1，0），B（4，0），

∵點A、B、C關(guān)于原點的對稱點分布是A₁，B₁，C₁，

∴A₁（1，0），B₁（﹣4，0），C₁（0，﹣2），

設(shè)經(jīng)過點A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)解析式為y=a₂（x﹣1）（x+4），把C₁（0，﹣2）代入得a₂•（﹣1）•4=﹣2，解得a₂=，

∴經(jīng)過點A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)解析式為y=（x﹣1）（x+4）=x²+x﹣2，

而y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x²+x+2，

∴a₁+a₂=﹣+=0，b₁=b₂=，c₁+c₂=2﹣2=0，

∴經(jīng)過點A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)與函數(shù)y=﹣（x+1）（x﹣4）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)