Question

【題目】如圖，點A,B在直線1上,AB = 20cm,∠BAC= 120°.

(1)點P從A出發，沿射線AB以每秒2cm的速度向右運動，同時點Q從B出發,沿射線BA以每秒lcm的速度向左運動,求點P出發多少秒時與點Q重合?

(2)在(1)的條件下，求點P出發多少秒時與點Q相距5cm?

(3)點M為射線AC上一點,AM = 4cm,現將射線AC繞點A以每秒30°的速度順時針旋轉一周后停止，同時點N從點B出發沿直線AB向左運動，在這一運動過程中，是否存在某一時刻，使得點N為BM的中點?若存在，求出點N運動的速度:若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點P出發秒時與點Q重合；（2）點P出發5秒或秒時與點Q相距5cm；（3）存在，點N運動的速度為2cm/s或1.2cm/s.

【解析】

（1）設點P出發x秒時與點Q重合，根據題意列出方程并解方程即可；

（2）設點P出發t秒時與點Q相距5cm，根據點P、Q是否相遇分類討論，分別根據圖形列出方程，求出t即可；

（3）根據點M與點A的相對位置分類討論：①當點M旋轉至點A的右側時，此時M的對應點為M1，N為BM1的中點，先求出此時N行駛的路程BN，再求出N行駛的時間，即可求出N的速度；②當點M旋轉至點A的左側時，此時M的對應點為M2，N為BM2的中點，原理同上.

解：（1）設點P出發x秒時與點Q重合，

根據題意可知：AP=2x，BQ=x，

∴2x＋x=20

解得：x=

答：點P出發秒時與點Q重合.

（2）設點P出發t秒時與點Q相距5cm

①若P、Q未相遇時，如下圖所示

∴AP=2t，PQ=5，BQ= t，

∴2t＋5＋t =20

解得：t =5；

②若P、Q已相遇，如下圖所示

∴AP=2t，PQ=5，BQ= t，

∴2t－5＋t =20

解得：t =

綜上所述：t=5或.

答：點P出發5秒或秒時與點Q相距5cm.

（3）存在，

①當點M旋轉至點A的右側時，此時M的對應點為M1，N為BM1的中點

∴AM1=AM=4cm，

∴BM1=AB－AM1=16cm

∵N為BM1的中點

∴N行駛的路程BN= BM1=8cm

∵∠BAC= 120°，射線AC繞點A以每秒30°的速度順時針旋轉，同時點N從點B出發沿直線AB向左運動，

∴N行駛的時間=射線AC旋轉的時間=120÷30=4s

∴N的速度為：8÷4=2cm/s

②當點M旋轉至點A的左側時，此時M的對應點為M2，N為BM2的中點

∴AM2=AM=4cm，

∴BM2=AB+AM2=24cm

∵N為BM2的中點

∴N行駛的路程BN= BM2=12cm

∵∠BAC= 120°，射線AC繞點A以每秒30°的速度順時針旋轉，同時點N從點B出發沿直線AB向左運動，

∴射線AC旋轉的角度為：120°＋180°=300°，N行駛的時間=射線AC旋轉的時間=300÷30=10s

∴N的速度為：12÷10=1.2cm/s

綜上所述：點N運動的速度為2cm/s或1.2cm/s.