Question

【題目】如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB為邊向外作等邊三角形ACD及等邊三角形ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足為F,連接DF.求證:

（1）AC=EF;
（2）四邊形ADFE是平行四邊形.

Answer 1

【答案】
（1）證明:∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴BC= AB.
∵△ABE是等邊三角形,EF⊥AB,
∴AB=EB,BF= AB.
∴BC=BF.
在Rt△ACB和Rt△EFB中,
∴Rt△ACB≌Rt△EFB(HL).∴AC=EF.
（2）證明:∵△ADC是等邊三角形,∴∠DAC=60°,AC=AD.
∴AD=EF.∵∠BAC=30°,
∴∠DAF=∠DAC+∠BAC=90°.
∴∠DAF=∠AFE.∴AD∥EF.
∴四邊形ADFE是平行四邊形
【解析】（1）根據30°角所對的的直角邊等于斜邊的一半證出BC=AB，再根據等邊三角形的性質證明BF=AB，得到BC=BF，然后根據直角三角形的全等判定證明Rt△ACB≌Rt△EFB，再根據全等三角形的性質就可證得結論。
（2）根據已知易證AD=EF，再根據等邊三角形的性質證明∠DAC=60°及∠DAC=60°，可證得∠DAF=∠AFE=90°，就可證得AD∥EF，然后根據平行四邊形的判定即可證得結論。