Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為CD上一動點，AE交BD于F，過F作FH⊥AE于H，過H作GH⊥BD于G，下列有四個結論：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周長為定值，其中正確的結論有（　　）
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】

解答：解：①連接FC，延長HF交AD于點L，

∵BD為正方形ABCD的對角線，

∴∠ADB＝∠CDF＝45°．

∵AD＝CD，DF＝DF，

∴△ADF≌△CDF．

∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．

∵∠ALH＋∠LAF＝90°，

∴∠LHC＋∠DAF＝90°．

∵∠ECF＝∠DAF，

∴∠FHC＝∠FCH，

∴FH＝FC．

∴FH＝AF．

②∵FH⊥AE，FH＝AF，

∴∠HAE＝45°．

③連接AC交BD于點O，可知：BD＝2OA，

∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，

∴∠AFO＝∠GHF．

∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，

∴△AOF≌△FGH．

∴OA＝GF．

∵BD＝2OA，

∴BD＝2FG．

④延長AD至點M，使AD＝DM，過點C作CI∥HL，則：LI＝HC，

根據△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，

同理，可得：AL＝HE，

∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．

∴△CEM的周長為8，為定值．

故（1）（2）（3）（4）結論都正確．

故選D．

分析：①作輔助線，延長HF交AD于點L，連接CF，通過證明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需證明FC＝FH，可證：AF＝FH；

②由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；

③作輔助線，連接AC交BD于點O，證BD＝2FG，只需證OA＝GF即可，根據△AOF≌△FGH，可證OA＝GF，故可證BD＝2FG；（4）作輔助線，延長AD至點M，使AD＝DM，過點C作CI∥HL，則IL＝HC，可證AL＝HE，再根據△MEC≌△MIC，可證：CI＝IM，故△CEM的周長為邊AM的長，為定值

解答本題要充分利用正方形的特殊性質，在解題過程中要多次利用三角形全等