Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點和點，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式及頂點的坐標；

（2）若向下平移拋物線，使頂點落在軸上，原來的拋物線上的點平移后的對應點為．若，求點的坐標；

（3）在拋物線上是否存在點使的面積是面積的一半？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），頂點的坐標為；（2）點的坐標為；（3）存在，點的坐標為或或或．

【解析】

（1）把A，B兩點坐標分別代入直線中求出m，n值，可得A（2，0），B（-2，-4），代入求出a，b的值，可得拋物線解析式，通過配方可得頂點D的坐標；

（2）先求出圖象向下平移的距離，再設點的坐標為，可得點的坐標為，根據，軸可得點與點關于軸對稱，列出方程求解即可；

（3）首先求出直線y=x-2與y軸的交點E的坐標，拋物線與y軸的交點C的坐標，得O是CE的中點，過點作于點，連接，易證要使的面積是面積的一半，則點在過點且平行于直線的直線上.因此，過點作交拋物線于點，聯立方程組求解即可；同理，在直線AB的下方也存在兩點，方法同上.

將點代入直線中，

得.

點的坐標為

將點代入直線，

得.

點的坐標為.

把點代入拋物線中，

得

解得

拋物線的解析式為.

.

頂點的坐標為

設點的坐標為

向下平移后點落在軸上.

拋物線向下平移了個單位長度，

則點的坐標為

，且軸.

點與點關于軸對稱

，

即

點的坐標為

存在，設直線與軸交于點.

將代入中，

得.

點的坐標為

將代入中，

得

點的坐標為

即點是線段的中點.

過點作于點，連接，如解圖所示.

∵OC=2，OA=2，

∴CA=

∵OE=2

∴AE=，CE=4

∵

∴CA2+AE2=OE2

∴

且

要使的面積是面積的一半，

則點在過點且平行于直線的直線上.

點在拋物線上，

點為直線與拋物線的交點.

過點作交拋物線于點，如解圖所示，

易得直線的解析式為.

聯立

得，

解得

作點關于點的對稱點，

過點作交拋物線于點，如解圖所示，

則點的坐標為，

易得直線的解析式為.

同理，可知

綜上所述，點的坐標為或或．