Question

【題目】提出問題：“周長一定的長方形，當鄰邊長度滿足什么條件時面積最大？”

探究發現：如圖所示，小敏用4個完全相同的、鄰邊長度分別為a、b的長方形拼成一個邊長為（a+b）的正方形（其中a、b的和不變，但a、b的數值及兩者的大小關系都可以變化）．仔細觀察拼圖，我們發現，如果右圖中間有空白圖形F，那么它一定是正方形

（1）空白圖形F的邊長為　 　；

（2）通過計算左右兩個圖形的面積，我們發現（a+b）2、（a﹣b）2和ab之間存在一個等量關系式．

①這個關系式是　 　；

②已知數x、y滿足：x+y＝6，xy＝，則x﹣y＝　 　；

問題解決：

問題：“周長一定的長方形，當鄰邊長度滿足什么條件時面積最大？”

①對于周長一定的長方形，設周長是20，則長a和寬b的和是　 　面積S＝ab的最大值為　 　，此時a、b的關系是　 　；

②對于周長為L的長方形，面積的最大值為　 　．

活動經驗：

周長一定的長方形，當鄰邊長度a、b滿足　 　時面積最大．

Answer 1

【答案】探究發現：（1）a﹣b；（2）①（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；②5或﹣5；問題解決：①10，25，a＝b；②L2；活動經驗：a＝b．

【解析】

探究發現

（1）由圖可知：空白圖形F的邊長為：a-b；

（2）①由矩形的性質得出左圖形的面積為：2a×2b=4ab，由正方形的性質得出右圖形的面積為：（a+b）2-（a-b）2，即可得出答案；

②由①得出（x-y）2=25，即可得出答案；

問題解決

①由長方形的性質得出a+b=10，面積S=ab=a（10-a）=-a2+10a=-（a-5）2+25，由二次函數的性質即可得出答案；

②由長方形的性質得出面積；由二次函數的性質即可得出答案；

活動經驗

根據前面的問題即可得出結論．

（1）由圖可知：空白圖形F的邊長為：a﹣b，

故答案為：a﹣b；

（2）①左圖形的面積為：2a×2b＝4ab，

右圖形的面積為：（a+b）2﹣（a﹣b）2，

∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，

故答案為：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；

②由（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab得：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，

即：62﹣（x﹣y）2＝4×，

∴（x﹣y）2＝25，

∴x﹣y＝5或x﹣y＝﹣5，

故答案為：5或﹣5；

問題解決：

解：①∵長方形的周長是20，

∴2（a+b）＝20，

∴a+b＝10，則b＝10﹣a，

∴面積S＝ab＝a（10﹣a）＝﹣a2+10a＝﹣（a﹣5）2+25，

∴a＝5時，S＝ab的最大值為25，

此時a、b的關系是a＝b，

故答案為：10，25，a＝b；

②對于周長為L的長方形，

設一邊長為a，則鄰邊長為﹣a，

∴面積；

∴面積的最大值為L2；

故答案為：L2；

活動經驗：

解：周長一定的長方形，當鄰邊長度a、b滿足a＝b時面積最大；

故答案為：a＝b．