Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A，B的坐標分別為（4，0），（4，3），動點M，N分別從O，B同時出發．以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知動點運動了x秒．

（1）P點的坐標為多少（用含x的代數式表示）；

（2）試求△NPC面積S的表達式，并求出面積S的最大值及相應的x值；

（3）當x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P點坐標為（x，3﹣x）．

（2）S的最大值為，此時x=2．

（3）x=，或x=，或x=．

【解析】

試題分析：（1）求P點的坐標，也就是求OM和PM的長，已知了OM的長為x，關鍵是求出PM的長，方法不唯一，①可通過PM∥OC得出的對應成比例線段來求；

②也可延長MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根據CQ的長和∠ACB的正切值求出PQ的長，然后根據PM=AB﹣PQ來求出PM的長．得出OM和PM的長，即可求出P點的坐標．

（2）可按（1）②中的方法經求出PQ的長，而CN的長可根據CN=BC﹣BN來求得，因此根據三角形的面積計算公式即可得出S，x的函數關系式．

（3）本題要分類討論：

①當CP=CN時，可在直角三角形CPQ中，用CQ的長即x和∠ABC的余弦值求出CP的表達式，然后聯立CN的表達式即可求出x的值；

②當CP=PN時，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的長，然后根據QN=CN﹣CQ求出QN的表達式，根據題設的等量條件即可得出x的值．

③當CN=PN時，先求出QP和QN的長，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的長，聯立CN的表達式即可求出x的值．

試題解析：（1）過點P作PQ⊥BC于點Q，

有題意可得：PQ∥AB，

∴△CQP∽△CBA，

∴

∴

解得：QP=x，

∴PM=3﹣x，

由題意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），

P點坐標為（x，3﹣x）．

（2）設△NPC的面積為S，在△NPC中，NC=4﹣x，

NC邊上的高為，其中，0≤x≤4．

∴S=（4﹣x）×x=（﹣x2+4x）

=﹣（x﹣2）2+．

∴S的最大值為，此時x=2．

（3）延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．

①若NP=CP，

∵PQ⊥BC，

∴NQ=CQ=x．

∴3x=4，

∴x=．

②若CP=CN，則CN=4﹣x，PQ=x，CP=x，4﹣x=x，

∴x=；

③若CN=NP，則CN=4﹣x．

∵PQ=x，NQ=4﹣2x，

∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，

∴（4﹣x）2=（4﹣2x）2+（x）2，

∴x=．

綜上所述，x=，或x=，或x=．