Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是邊AB的中點，CH⊥AB于點H，CD平分∠ACB.

(1)求證：∠1＝∠2.

(2)過點M作AB的垂線交CD的延長線于點E，連結AE，BE.求證：CM＝EM.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】試題分析：

（1）由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠BCD，我們只需證∠ACM=∠BCH就可得∠1=∠2；而由CM是Rt△ABC斜邊上的中線易得AM=CM，由此可得∠ACM=∠A，而由已知易證∠A=∠BCH，從而可得∠ACM=∠BCH；

（2）由CH⊥AB，ME⊥AB可得ME∥CH，由此可得∠E=∠1=∠2，就可得CM=ME.

試題解析：

(1)∵∠ACB＝90°，

∴∠A＋∠B＝90°.

∵CH⊥AB，

∴∠B＋∠BCH＝90°，

∴∠A＝∠BCH.

∵M是斜邊AB的中點，

∴CM＝AM，

∴∠A＝∠ACM.

∴∠BCH＝∠ACM.

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACD，

∴∠BCD－∠BCH＝∠ACD－∠ACM，

即∠1＝∠2.

(2)∵CH⊥AB，ME⊥AB，

∴ME∥CH，

∴∠1＝∠E.

∵∠1＝∠2，

∴∠2＝∠MED，

∴CM＝EM.