Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于半徑為4的☉0，過0作BC的垂線，垂足為F，且交☉0于P、Q兩點(diǎn)．OD、OE的長(zhǎng)分別是拋物線y=x²+2mx+m²-9與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在直線l，使它經(jīng)過拋物線與x軸的交點(diǎn)，并且原點(diǎn)到直線l的距離是2？如果存在，請(qǐng)求出直線l的解析式；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接BO，根據(jù)垂徑定理與圓周角定理可得∠BAC=∠BOQ，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠BOD=EAD，然后證明△BOD和△EAD相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理即可得到OD、OE的關(guān)系，再根據(jù)相交弦定理列式整理出AD、BD的關(guān)系，從而得到OD•OE的值，令y=0，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題用m表示出OD•OE，從而得到關(guān)于m的方程，求解得到m的值，再根據(jù)OD、OE都是正數(shù)，且是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得拋物線對(duì)稱軸在y軸的右邊求出m的取值范圍，從而得到m的值，代入拋物線計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0）（8，0），①當(dāng)直線l經(jīng)過左邊交點(diǎn)時(shí)，直線l平行于y軸，原點(diǎn)到直線l的距離是2；②當(dāng)直線l經(jīng)過右邊交點(diǎn)時(shí)，是交點(diǎn)為L(zhǎng)，過點(diǎn)O作OM⊥l與點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則OM=2，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出ON的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出MN的長(zhǎng)度，然后分點(diǎn)M在x軸上方與下方兩種情況，利用待定系數(shù)法求直線解析式求出直線l的解析式．

解答：解：（1）如圖，連接BO，∵OQ⊥BC與F，
∴

QB

=

QC

，
∴∠BAC=∠BOQ，
∵∠BOD=180°-∠BOQ，∠EAD=180°-∠BAC，
∴∠BOD=EAD，
又∵∠BDO=∠EDA（對(duì)頂角相等），
∴△BOD∽△EAD，
∴

OD

AD

=

BD

DE

，
∴AD•BD=OD•DE，
根據(jù)相交弦定理AD•BD=DQ•DP，
∴OD•DE=DQ•DP，
∵圓的半徑為4，
∴OD（OE-OD）=（4+OD）（4-OD），
整理得，OD•OE=16，
令y=0，則x²+2mx+m²-9=0，
∵OD、OE是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴OD•OE=m²-9，
∴m²-9=16，
解得m=±5，
∵線段OD、OE的長(zhǎng)度都是正數(shù)，
∴-

b

2a

=-

2m

2×1

=-m＞0，
解得m＜0，
∴m=-5，
∴拋物線解析式為y=x²-10x+16；

（2）存在．
理由如下：令y=0，則x²-10x+16=0，
解得x₁=2，x₂=8，
所以，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），（8，0），
①當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)（2，0）時(shí)，直線l平行于y軸時(shí)，原點(diǎn)到直線l的距離為2，
所以，直線l的解析式為x=2；
②當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)（8，0）時(shí)，如圖，設(shè)點(diǎn)L（8，0），
過點(diǎn)O作OM⊥l與點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則OM=2，
∵∠OML=∠MNO=90°，∠MON=∠LOM，
∴△OMN∽△OLM，
∴

OM

OL

=

ON

OM

，
即

2

8

=

ON

2

，
解得ON=

1

2

，
在Rt△OMN中，MN=

OM2-ON2

=

22-( 1 2 )2

=

15

2

，
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

1

2

，

15

2

），
則

1 2 k+b= 15 2 8k+b=0

，
解得

k=- 15 15 b= 8 15 15

，
此時(shí)直線l的解析式為y=-

15

15

x+

8 15

15

，
當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

1

2

，-

15

2

），
則

1 2 k+b=- 15 2 8k+b=0

，
解得

k= 15 15 b=- 8 15 15

，
此時(shí)直線l的解析式為y=

15

15

x-

8 15

15

，
綜上所述，存在直線l：x=2或y=-

15

15

x+

8 15

15

或y=

15

15

x-

8 15

15

使原點(diǎn)到l的距離為2．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了垂徑定理，圓周角定理，相交弦定理，拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，根與系數(shù)的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線解析式，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（1）作出輔助線構(gòu)造出相似三角形然后求出OD•OE=16是解題的關(guān)鍵，（2）注意要分情況討論求解．