Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC=67.5°，△ABD和△ABC關于AB所在的直線對稱，點M為邊AC上的一個動點（重合），點M關于AB所在直線的對稱點為N，△CMN的面積為S．

（1）求∠CAD的度數；

（2）設CM=x，求S與x的函數表達式，并求x為何值時S的值最大？

（3）S的值最大時，過點C作EC⊥AC交AB的延長線于點E，連接EN（如圖2），P為線段EN上一點，Q為平面內一點，當以M，N，P，Q為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出所有滿足條件NP的長．

Answer 1

【答案】（1）∠CAD=90°；（2）S=﹣x2+2x，當x=2時，S有最大值．（3）2或2或．

【解析】分析：(1)由三角形的內角和定理可得∠BAC，再由軸對稱的性質求∠CAD；(2)AM＝4－x，又△AMN是等腰直角三角形，由三角形的面積公式和二次函數的性質即可求解；(3)用勾股定理求出AE，AO，ON，OE，EN的長，因為點M，N不動，點P，Q是動點，所以需要分三種情況討論，分別畫出每一種情況的圖形，根據圖形求解.

詳解：(1)∵AB＝AC，∠ABC＝67.5°，

∴∠ACB＝∠ABC＝67.5°，∴∠CAB＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，

∵△ABD和△ABC關于AB所在的直線對稱，

∴∠DAB＝∠CAB＝45°，

∴∠CAD＝45°＋45°＝90°．

(2)由(1)知：AN⊥AM，

∵點M.N關于AB所在直線對稱，∴AM＝AN，

∵CM＝x，∴AN＝AM＝4﹣x，

∴S＝×CM×AN＝x(4﹣x)，

∴S＝﹣x2＋2x，

∴當x＝﹣＝2時，S有最大值．

(3)∵CE⊥AC，

∴∠ECA＝90°，∵∠CAB＝45°，

∴∠CEA＝∠EAC＝45°，∴CE＝AC＝4，

在Rt△ECA中，AC＝EC＝4，由勾股定理得：EA＝，

∵AM＝AN，∠CAB＝∠DAB，∴AO⊥MN，MO＝NO，

在Rt△MAN中，AM＝AN＝4﹣2＝2，由勾股定理得：MN＝，

∴MO＝NO＝，

由勾股定理得：AO＝，

∴EO＝4﹣，

在Rt△EON中，EO＝，NO＝，

由勾股定理得：EN＝，

分為三種情況：①當以MN為對角線時，此時P在E上，即NP＝NE＝；

②以MN為一邊時，以N為圓心，以MN為半徑畫弧交NE于P，

此時NP＝MN＝；

③以MN為一邊時，

過M作MZ⊥NE于Z，則PZ＝NZ，

∵AE⊥MN，∴∠EON＝∠MZN＝90°，

∵∠ENO＝∠MNZ，∴△ENO∽△MNZ，

∴，∴，

∴ZN＝，∴NP＝2ZN＝.

即所有滿足條件NP的長是或或．