Question

【題目】如圖，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP=OC，下面結(jié)論：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠PCB=90°；③PC=PO；④AO+AP=AC；其中正確的有________.(填上所有正確結(jié)論的序號)

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

連接，證明，利用等腰三角形的性質(zhì)可判斷結(jié)論①；由線段垂直平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角的和差求出∠APO與∠DCO的和等于30°，再證明是等邊三角形，可判斷結(jié)論②，③；, 在線段AC上截取AE=AP，連接PE，證明△APO≌△EPC可判斷結(jié)論④．

解：如圖，連接

∵AD⊥BC，

是的中垂線，，

即結(jié)論①正確；

連接BO，如圖1所示：

由

是等邊三角形，

即結(jié)論②正確；

是等邊三角形，

即結(jié)論③正確；

在線段AC上截取AE=AP，連接PE，如圖所示：

∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，

∴∠CAP=60°，

∴△APE是等邊三角形，

∴AP=EP，

又∵△OPC是等邊三角形，

∴OP=CP，

又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，

∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，

∴∠APO=∠EPC，

在△APO和△EPC中，

，

∴△APO≌△EPC（SAS），

∴AO=EC，

又∵AC=AE+EC，AE=AP，

∴AC=AO+AP， 即結(jié)論④正確；

綜合所述，①，②，③，④都正確，

故答案為：①，②，③，④．