【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線EF分別交AD、AC、BC于點E、O、F，連接CE和AF.
（1）求證：四邊形AECF為菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周長.
【答案】（1）見解析；（2）20
【解析】
（1）根據ASA推出：△AEO≌△CFO；根據全等得出OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據EF⊥AC即可推出四邊形是菱形；
（2）根據線段垂直平分線性質得出AF=CF，設AF=x，推出AF=CF=x，BF=8－x．在Rt△ABF中，由勾股定理求出x的值，即可得到結論．
（1）∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO．
在△AEO和△CFO中，∵
，∴△AEO≌△CFO（ASA）；∴OE=OF．
又∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．
又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形；
（2）設AF=x．
∵EF是AC的垂直平分線，∴AF=CF=x，BF=8﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴AF=5，∴菱形AECF的周長為20．
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【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點O作OD⊥AB，交BC的延長線于D，交AC于點E，F是DE的中點，連接CF．
（1）求證：CF是⊙O的切線．
（2）若∠A＝22.5°，求證：AC＝DC．
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【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．
（1）觀察猜想
圖1中，線段PM與PN的數量關系是 ，∠MPN的度數是 ；
（2）探究證明
把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝4，AB＝8，請直接寫出△PMN面積的取值范圍．
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【題目】在平面直角坐標系 XOY中，對于任意兩點 
(
,
)與 
(,
)的“非常距離”，給出如下定義： 若 
，則點 與點 的“非常距離”為 
；若 
，則點 與點的“非常距離”為 
.
例如：點 (1,2)，點 (3,5)，因為 
，所以點 與點 的“非常距離”為 
，也就是圖1中線段 Q與線段 Q長度的較大值（點 Q為垂直于 y軸的直線 Q與垂直于 x軸的直線 Q的交點）。
（1）已知點 A(-
,0)， B為 y軸上的一個動點，①若點 A與點 B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點 B的坐標；②直接寫出點 A與點 B的“非常距離”的最小值；
（2）已知 C是直線 
上的一個動點，①如圖2，點 D的坐標是（0，1），求點 C與點 D的“非常距離”的最小值及相應的點 C的坐標； ②如圖3， E是以原點 O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點 C與點 E的“非常距離”的最小值及相應的點 E和點 C的坐標。
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線
與y軸交于點A，與x軸交于點B和點C（3，0），且圖象過點D（2，3），連結AD，點P是線段AD上一個動點，過點P作y軸平行線分別交拋物線和x軸于點E，F．連結AE，過點F作FG//AE交AD的延長線于點G．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若tan∠G＝
，求點E的坐標；
（3）當△AFG是直角三角形時，求DG的長．
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【題目】某工廠用
天時間生產一款新型節能產品，每天生產的該產品被某網店以每件
元的價格全部訂購，在生產過程中，由于技術的不斷更新，該產品第
天的生產成本
（元/件）與（天）之間的關系如圖所示，第天該產品的生產量
（件）與（天）滿足關系式
第
天，該廠生產該產品的利潤是 元；
設第天該廠生產該產品的利潤為
元．
①求與之間的函數關系式，并指出第幾天的利潤最大，最大利潤是多少？
②在生產該產品的過程中，當天利潤不低于
元的共有多少天？
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【題目】如圖，在11×11的正方形網格中，△TAB的頂點分別為T（1，1），A（2，3），B（4，2）．
（1）以點T（1，1）為位似中心，按比例尺（TA′：TA）3：1，在位似中心的同側將△TAB放大為△TA′B′，放大后點A，B的對應點分別為A′，B′，畫出△TA′B′，并寫出點A′，B′的坐標；點A′的坐標為 ，點B′的坐標為
（2）在（1）中，若C（a，b）為線段AB上任一點，寫出變化后點C的對應點C′的坐標為 ．
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