Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于點G，點E、F分別為AG、CD的中點，連接DE、FG．

（1）求證：四邊形DEGF是平行四邊形；
（2）當點G是BC的中點時，求證：四邊形DEGF是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AG∥DC，AD∥BC，

∴四邊形AGCD是平行四邊形，

∴AG=DC，

∵E、F分別為AG、DC的中點，

∴GE= AG，DF= DC，

即GE=DF，GE∥DF，

∴四邊形DEGF是平行四邊形；

（2）

證明：連結DG，

∵四邊形AGCD是平行四邊形，

∴AD=CG，

∵G為BC中點，

∴BG=CG=AD，

∵AD∥BG，

∴四邊形ABGD是平行四邊形，

∴AB∥DG，

∵∠B=90°，

∴∠DGC=∠B=90°，

∵F為CD中點，

∴GF=DF=CF，

即GF=DF，

∵四邊形DEGF是平行四邊形，

∴四邊形DEGF是菱形．

【解析】（1）求出平行四邊形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根據平行四邊形的判定推出即可；（2）連接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根據菱形的判定推出即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的判定和菱形的判定方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．