Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，對于點P（a，b），若點P′的坐標為（a ，ka+b）（其中k為常數，且k≠0），則稱點P′為點P的“k關聯點”．

（1）求點P（﹣2，3）的“2關聯點”P′的坐標；
（2）若a、b為正整數，點P的“k關聯點”P′的坐標為（3，6），求出k及點P的坐標；
（3）如圖，點Q的坐標為（0，4 ），點A在函數y=﹣ （x＜0）的圖象上運動，且點A是點B的“﹣ 關聯點”，當線段BQ最短時，求B點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x=﹣2+ =﹣ ，y=2×（﹣2）+3=﹣1，

∴P′（﹣ ，﹣1）；

（2）解：設P（a，b），則P′（a ，ka+b）

∴ ，

∴k=2，

∴2a+b=6．

∵a、b為正整數

∴P′（1，4）、（2，2）；

（3）解：∵B的“﹣ 關聯點”是A，

∴A（a﹣ ，﹣ a+b），

∵點A還在反比例函數y=﹣ 的圖象上，

∴（﹣ a+b）（a﹣ ）=﹣4 ，

∴（b﹣ a）2=12，

∵b﹣ a＞0，

∴b﹣ a=2 ，

∴b= a+2 ；

∴B在直線y= x+2 上．

過Q作y= x+2 的垂線QB1，垂足為B1，

∵Q（0，4 ），且線段BQ最短，

∴B1即為所求的B點，

由△MB1Q∽△MON 得 ，

∵ON=2，OM=2 ，

∴MN=4．

又∵MQ=2 ，

∴B1Q= ，MB1=3

在Rt△MB1Q中，B1QMB1=MQhB1，

∴hB1= ，

∴xB1= ，

∴B（ ， ）．

【解析】（1）根據新定義求出P′的坐標。
（2）根據新定義，建立方程組，就可以求出k及點P的坐標。
（3）根據題意表示出點A的坐標，再代入反比例函數求得b的值，從而求得點B在一次函數圖像上，過Q作y= x+2 的垂線QB1，垂足為B1， 則線段BQ最短，B1即為所求的B點，然后由△MB1Q∽△MON 得對應邊成比例，求出MN、B1Q、MB1的長，再利用三角形的面積公式即可求出點B的坐標。
【考點精析】關于本題考查的反比例函數的圖象和垂線段最短，需要了解反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；現實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質的應用才能得出正確答案．