Question

【題目】若關于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有實數根x1 ， x2 ， 且x1 x2有下列結論：①x1=2,x2=3；②m> ；③二次函數y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點的坐標為（2,0）和（3,0）.其中正確的結論是（填正確結論的序號）

Answer 1

【答案】C
【解析】一元二次方程（x-2）（x-3）=m化為一般形式得：x2-5x+6-m=0，
∵方程有兩個不相等的實數根x1、x2，
∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，
解得：m＞- ，故選項②正確；
∵一元二次方程實數根分別為x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6-m，
而選項①中x1=2，x2=3，只有在m=0時才能成立，故選項①錯誤；
二次函數y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），
令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，
解得：x=2或3，
∴拋物線與x軸的交點為（2，0）或（3，0），故選項③正確．
綜上所述，正確的結論有2個：②③．

題中沒有告訴m=0,因此①錯誤；將原方程化成一般形式，根據b2-4ac＞0，求出其解集，可知②正確；將選項③的二次函數化成一般形式，利用根與系數的關系得出兩根之和和兩根之積。然后代入，設y=0，得到關于x的方程，求出方程的解，確定二次函數與x軸的交點坐標，可知③正確。