Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O是AC的中點，AC＝2AB，延長AB至G，使BG＝AB，連接GO交BC于E，延長GO交AD于F，連接AE．

求證：（1）△ABC≌△AOG；

（2）猜測四邊形AECF的形狀并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形AECF是菱形；理由見解析

【解析】

（1）由已知條件得出AB＝AO，AC＝AG，由SAS證明△ABC≌△AOG即可；

（2）由矩形的性質得出∠ABC＝90°，AD∥BC，得出∠OAF＝∠OCE，由ASA證明△AOF≌△COE，得出OF＝OE，得出四邊形AECF是平行四邊形，再由全等三角形的對應角相等得出∠AOG＝∠ABC＝90°，即可得出結論．

（1）證明：∵點O是AC的中點，

∴AO＝CO＝AC，

∵AC＝2AB，BG＝AB，

∴AB＝AO，AC＝AG，

在△ABC和△AOG中，，

∴△ABC≌△AOG（SAS）；

（2）四邊形AECF是菱形；理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，AD∥BC，

∴∠OAF＝∠OCE，

在△AOF和△COE中，，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OF＝OE，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵△ABC≌△AOG，

∴∠AOG＝∠ABC＝90°，

∴AC⊥EF，

∴四邊形AECF是菱形．