Question

如圖1，一副三角板的兩個直角重疊在一起，∠A=30°，∠C=45°△COD固定不動，△AOB繞著O點順時針旋轉α°（0°＜α＜180°）

（1）若△AOB繞著O點旋轉圖2的位置，若∠BOD=60°，則∠AOC=______；
（2）若0°＜α＜90°，在旋轉的過程中∠BOD+∠AOC的值會發生變化嗎？若不變化，請求出這個定值；
（3）若90°＜α＜180°，問題（2）中的結論還成立嗎？說明理由；
（4）將△AOB繞點O逆時針旋轉α度（0°＜α＜180°），問當α為多少度時，兩個三角形至少有一組邊所在直線垂直？（請直接寫出所有答案）．

Answer 1

（1）∵∠BOD=60°，△AOB繞著O點旋轉了30°，即∠AOD=30°，∴∠AOC=∠AOD+∠COD=30°+90°=120°；

（2）若0°＜α＜90°，∵∠AOD=α，∠AOC=∠COD+∠AOD，
∴∠BOD+∠AOC=（∠BOD+∠AOD）+∠COD=90°+90°=180°，在旋轉的過程中∠BOD+∠AOC的值不變化，∠BOD+∠AOC=180°；

（3）若90°＜α＜180°，問題（2）中的結論還成立
理由：若90°＜α＜180°，∵∠AOB=∠COD=90°；又∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠COD=360°
∴∠BOD+∠AOC=360°-∠AOD-∠COD=360°-90°-90°=180°；

（4）α=90°、60°、45°、105°、150°、135°時，兩個三角形至少有一組邊所在直線垂直．