Question

【題目】（本題滿分11分）讓我們一起探索有趣的“皮克定理”：用水平線和豎直線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點，叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形．設格點多邊形的面積為S，它各邊上格點的個數和為x．

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（1）上圖中的格點多邊形，其內部都只有一個格點，請完成下表，并寫出S與x之間的關系式：S=______．

（2）探索：在上面網格圖中畫出四個格點多邊形，其內部都只有兩個格點，并寫出所畫的各個多邊形的面積S與它各邊上格點的個數和x之間的關系式：S=______；

（3）猜想：當格點多邊形內部有且只有n個格點時，S與x之間的關系式是：S=______．

Answer 1

【答案】（1），3 ， ；（2）作圖見解析， ＋1；（3）＋（n-1）．

【解析】試題分析：（1）分別算出②和③的面積，再探索規律；（2）先畫出四個圖形，再求出四個圖形的面積，最后探索面積S和x的關系；（3）由（1）（2）問求出的S與x的關系探索規律.

解：（1）圖②的面積為S=4-×1×2-×1×1=，圖③的面積為S=4-×1×1-×1×1=3，

根據2， ，3，4對應4，5，6，8，可知S和x的關系為S=x；

故答案為，3， .

（2）如圖，分別畫出四個格點多邊形⑤⑥⑦⑧，其內部都只有兩個格點.

圖⑤中x=3，S=；圖⑥中，x=4，S=3；圖⑦中，x=5,S=；圖⑧中，x=6，S=4.

則可知此時S= ＋1；

（3）當n=1時，S= ；

當n=2時，S= ＋1.

則可知＋（n-1）.