Question

【題目】如圖所示，點P是等邊△ABC的BC邊上一點，PM⊥AB，PN⊥AC，試猜想△AMN的周長L△AMN與四邊形BMNC的周長L四邊形BMNC有什么關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】△AMN的周長與四邊形BMNC的周長相等，理由見解析．

【解析】

依據∠BPM＝∠CPN＝30°，即可得出BM＝BP，CN＝CP，進而求得L△AMN＝AM＋AN＋MN＝BC＋MN；L四邊形BMNC＝BM＋CN＋BC＋MN＝BC＋MN；+

即可得到△AMN的周長與四邊形BMNC的周長相等．

解：△AMN的周長與四邊形BMNC的周長相等．

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，

又∵PM⊥AB，PN⊥AC，

∴∠BMP＝∠CNP＝90°，

∴∠BPM＝∠CPN＝30°，

∴BM＝BP，CN＝CP，

∴L△AMN＝AM+AN+MN

＝（AB﹣BM）+（AC﹣CN）+MN

＝（AB+AC）﹣（BM+CN）+MN

＝2BC﹣（PB+PC）+MN

＝2BC﹣BC+MN

＝BC+MN；

L四邊形BMNC＝BM+CN+BC+MN

＝（PB+PC）+BC+MN

＝BC+BC+MN

＝BC+MN；

∴L△AMN＝L四邊形BMNC．