Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC邊上的一點，且BP=2CP．

（1）用尺規在圖①中作出CD邊上的中點E，連接AE、BE（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）如圖②，在（1）的條體下，判斷EB是否平分∠AEC，并說明理由；

（3）如圖③，在（2）的條件下，連接EP并廷長交AB的廷長線于點F，連接AP，不添加輔助線，△PFB能否由都經過P點的兩次變換與△PAE組成一個等腰三角形？如果能，說明理由，并寫出兩種方法（指出對稱軸、旋轉中心、旋轉方向和平移距離）

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）EB是平分∠AEC，理由見解析； （3）△PFB能由都經過P點的兩次變換與△PAE組成一個等腰三角形，變換的方法為：將△BPF繞點B順時針旋轉120°和△EPA重合，①沿PF折疊，②沿AE折疊．

【解析】（1）根據作線段的垂直平分線的方法作圖即可得出結論；

（2）先求出DE=CE=1，進而判斷出△ADE≌△BCE，得出∠AED=∠BEC，再用銳角三角函數求出∠AED，即可得出結論；

（3）先判斷出△AEP≌△FBP，即可得出結論．

（1）依題意作出圖形如圖①所示；

（2）EB是平分∠AEC，理由：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=，

∵點E是CD的中點，

∴DE=CE=CD=1，

在△ADE和△BCE中，，

∴△ADE≌△BCE，

∴∠AED=∠BEC，

在Rt△ADE中，AD=，DE=1，

∴tan∠AED==，

∴∠AED=60°，

∴∠BCE=∠AED=60°，

∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC，

∴BE平分∠AEC；

（3）∵BP=2CP，BC==，

∴CP=，BP=，

在Rt△CEP中，tan∠CEP==，

∴∠CEP=30°，

∴∠BEP=30°，

∴∠AEP=90°，

∵CD∥AB，

∴∠F=∠CEP=30°，

在Rt△ABP中，tan∠BAP==，

∴∠PAB=30°，

∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB，

∵CB⊥AF，

∴AP=FP，

∴△AEP≌△FBP，

∴△PFB能由都經過P點的兩次變換與△PAE組成一個等腰三角形，

變換的方法為：將△BPF繞點B順時針旋轉120°和△EPA重合，①沿PF折疊，②沿AE折疊．