Question

【題目】已知邊長為1的正方形ABCD中,P是對角線AC上的一個動點(與點A. C不重合)，過點P作PE⊥PB，PE交射線DC于點E，過點E作EF⊥AC，垂足為點F，當點E落在線段CD上時(如圖)，

（1）求證：PB=PE；

（2）在點P的運動過程中，PF的長度是否發生變化?若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）過點P作PG⊥BC于G，過點P作PH⊥DC于H，如圖1．要證PB=PE，只需證到△PGB≌△PHE即可；（2）連接BD，如圖2．易證△BOP≌△PFE，則有BO=PF，只需求出BO的長即可．

(1)①證明：過點P作PG⊥BC于G，過點P作PH⊥DC于H，如圖1.

∵四邊形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，

∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°.

∴PG=PH,∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°.

∵PE⊥PB即∠BPE=90°，

∴∠BPG=90°∠GPE=∠EPH.

在△PGB和△PHE中，

.

∴△PGB≌△PHE(ASA)，

∴PB=PE.

②連接BD，如圖2.

∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BOP=90°.

∵PE⊥PB即∠BPE=90°，

∴∠PBO=90∠BPO=∠EPF.

∵EF⊥PC即∠PFE=90°，

∴∠BOP=∠PFE.

在△BOP和△PFE中，

，

∴△BOP≌△PFE(AAS)，

∴BO=PF.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC,∠BOC=90，

∴BC= OB.

∵BC=1,∴OB= ，

∴PF=.

∴點PP在運動過程中,PF的長度不變,值為.