Question

【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在直線PQ上運動，點B在直線MN上運動．

（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點A、B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明變化的情況；若不發生變化，試求出∠AEB的大小．

（2）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點A、B在運動的過程中，∠CED的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，試求出其值．

（3）如圖3，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長線相交于E、F，在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，試求∠ABO的度數．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45°

【解析】

（1）根據直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線得出，，由三角形內角和定理即可得出結論；
（2）延長AD、BC交于點F，根據直線MN與直線PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，進而得出 ，故，再由AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，可知，，由三角形內角和定理可知∠F=45°，再根據DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線可知，進而得出結論；
（3））由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知, ，進而得出∠E的度數，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一個角是另一個角的3倍分四種情況進行分類討論．

（1）∠AEB的大小不變，
∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴，
∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，
∴，，
∴°，
∴∠AEB=135°；

（2）∠CED的大小不變．
如圖2，延長AD、BC交于點F．
∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，
∴°，
∴°，

∴°，
∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，
∴，，
∴°，°，
∴°，
∴°，
∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，
∴°，
∴°；

（3）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，
∴, ，

∴，

∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，
∴°．
在△AEF中，
∵有一個角是另一個角的3倍，故有：

①，°，°；
②，°，°；
③，°，°；
④，°，°．
∴∠ABO為60°或45°．