Question

【題目】在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC外作∠ACM= ∠ABC，點D為直線BC上的動點，過點D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC于F.

（1）①當點D在線段BC上時，如圖1所示，求∠EDC的度數

②探究線段DF與EC的數量關系，并證明；

（2）當點D運動到CB延長線上時，請你畫出圖形，并證明此時DF與EC的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）①22.5°；②DF=2CE，.理由見解析； （2）解：DF=2CE；理由見解析.

【解析】

（1）①由等腰直角三角形的性質得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠BCM=67.5°，即可得出∠EDC的度數；
②作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，證明PD=CD，得出PC=2CE，由ASA證明△DNF≌△PNC，得出DF=PC，即可得出結論；
（2）作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，證明PD=CD，得出PC=2CE，由ASA證明△DNF≌△PNC，得出DF=PC，即可得出結論．

（1）解：①如圖1所示：

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠ACM= ∠ABC=22.5°，

∴∠BCM=67.5°，

∵DE⊥CM，

∴∠EDC=90°-∠BCM=22.5°；

②DF=2CE.理由如下：

證明：作∠PDE=22.5°，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，如圖2所示：

∵DE⊥PC，∠ECD=67.5°，

∴∠EDC=22.5°，

∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，

∴∠DPC=67.5°

∴PD=CD，

∴PE=EC，

∴PC=2CE，

∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，

∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，

∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，

在△DNF和△PNC中，

，

∴△DNF≌△PNC（ASA），

∴DF=PC，

∴DF=2CE

（2）解：DF=2CE；理由如下：

證明：作∠PDE=22.5°，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，如圖3所示：

∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，

∴∠EDC=22.5°，

∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，

∴∠DPC=67.5°

∴PD=CD，

∴PE=EC，

∴PC=2CE，

∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，

∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，

∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，

在△DNF和△PNC中，

，

∴△DNF≌△PNC（ASA），

∴DF=PC，

∴DF=2CE.