Question

如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、F，已知AD=4．

（1）試說明AE²+CF²的值是一個常數；
（2）過點P作PM∥FC交CD于點M，點P在何位置時線段DM最長，并求出此時DM的值．

Answer 1

解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF。
∵在△ABE和△BCF中，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠BFC，
∴△ABE≌△BCF（AAS）。
∴AE=BF。∴AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16為常數。
（2）設AP=x，則PD=4﹣x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，∴△PDM∽△BAP。
∴，即。
∴。
∵＜0，當x=2時，DM有最大值為1。

（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，結合∠ABE=∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16為常數。
（2）設AP=x，則PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出關于x的二次函數，求出DM的最大值。