Question

【題目】已知：如圖，AM為⊙O的切線，A為切點．過⊙O上一點B作BD⊥AM于點D，BD交⊙O于點C，OC平分∠AOB．

（1）求∠AOB的度數；

（2）當⊙O的半徑為4cm時，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）∠AOB＝120°；（2）EC＝2．

【解析】

（1）由AM為圓O的切線，利用切線的性質得到OA與AM垂直，再由BD與AM垂直，得到OA與BD平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等；再由OC為角平分線得到一對角相等，以及OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，然后利用等量代換得到∠BOC=∠OBC=∠OCB=60°，從而得出答案；

（2），過點O作OE⊥BD于點E，如圖，進而得出四邊形OADE是矩形，再結合（1）的解答過程進行推理，即可得出DC的長.

（1）∵AM為圓O的切線，

∴OA⊥AM，

∵BD⊥AM，

∴∠OAD＝∠BDM＝90°，

∴OA∥BD，

∴∠AOC＝∠OCB，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC，

∴∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，

∴∠AOB＝120°；

（2）過點O作OE⊥BD于點E，

∵∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴BE＝EC＝2，

∵∠OED＝∠EDA＝∠OAD＝90°，

∴四邊形OADE是矩形，

∴DE＝OA＝4，

∴EC＝DC＝2．