Question

【題目】如圖：在平面直角坐標系中，拋物線經過A（—2，—4 ），O（0，0），B（2，0）三點.

（1）求拋物線的解析式和頂點坐標D.

（2）若使軸上一點P，使P 到A、D的距離之和最小，求P的坐標.

（3）若拋物線對稱軸上一點M，使AM + OM最小，求AM + OM的最小值.

Answer 1

【答案】（1），D（1， ）；（2）P（，0）；（3）.

【解析】試題分析：

（1）由拋物線過點O（0，0），B（2，0）可設其解析式為，再代入點A（-2，-4 ），可解得的值，從而可得拋物線的解析式；

把所得解析式配方化為頂點式，即可得到頂點坐標；

（2）根據“兩點之間線段最短”連接AD交軸于點P，點P即為所求點；由A、D的坐標求出直線AD的解析式，就可求得點P的坐標；

（3）由題意可知，點O、B關于拋物線的對稱軸對稱，因此連接AB交拋物線對稱軸于點M，則M為所求點，線段AB的長度就是OM+AM的最小值；根據A、B兩點長坐標由兩點間距離公式計算出AB的長度即可.

試題解析：

（1）拋物線經過O（0，0），B（2，0），

則拋物線可設為，由拋物線過點A（-2，-4 ）可得： , 解得：

拋物線解析式為： 即： ，

配方得： ，

∴拋物線的頂點D的坐標為：（1， ）；

（2）連接AD交x軸于點P,

設直線AD的解析式為： ，

∵D的坐標為：（1， ），A的坐標為：（-2，-4 ），

∴有： ，解得： ，

∴直線AD為： .

當y=0時， ，

解得x =

∴ P的坐標為： ；

（3）由（1）知：拋物線為：

∴對稱軸為：直線為

∵點O與點B關于直線為對稱，連接AB交直線為于M，

∴點M為所求點，連接MO，則MO+MA的最小值就是AB的長.

∵點A的坐標為： ，點B的坐標為： ，

∴AB=，

∴AM + OM的最小值為.