Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，對角線AC、BD交于M，AB=2，CD=4，∠CMD=90°，求：BD的長．

Answer 1

分析：過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，根據∠CMD=90°求出△BDE是直角三角形，結合AB∥CD可以證明四邊形ACEB是平行四邊形，根據平行四邊形對邊相等可得AC=BE，CE=AB，從而求出DE的長度，然后根據等腰梯形的對角線相等推出BD=BE，利用勾股定理列式計算即可求出BD的長．

解答：解：如圖，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，
∴∠EBD=∠CMD=90°，
∵AB∥CD，
∴四邊形ACEB是平行四邊形，
∴AC=BE，CE=AB，
∵AB=2，CD=4，
∴DE=DC+CE=DC+AB=4+2=6，
∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，
∴AC=BD，
∴BD=BE，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，BD²+BE²=DE²，
即BD²+BD²=6²，
解得BD=3

2

．
故答案為：3

2

．

點評：本題主要考查了等腰梯形的對角線相等的性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理的應用，作出輔助線把對角線的垂直轉化為直角三角形是解題的關鍵，也是解決等腰梯形問題常作的輔助線之一．