Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的圓O交AC于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為E，連接OE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若CD=，∠ACB=30°，求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OD、BD，求出BD⊥AC，AD=DC，根據三角形的中位線得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據切線的判定推出即可；

（2）解直角三角形求出BC、BD，求出AB得出OD，根據三角形的面積公式求出高DE，在△ODE中，根據勾股定理求出OE即可．

（1）證明：連接OD、BD，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

∵AB=BC，

∴D為AC中點，

∵OA=OB，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴DE⊥OD，

∵OD為半徑，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵CD=，∠ACB=30°，

∴cos30°=，

∴BC=2，

∴BD=BC=1，

∵AB=BC，

∴∠A=∠C=30°，

∵BD=1，

∴AB=2BD=2，

∴OD=1，

在Rt△CDB中，由三角形面積公式得：BC×DE=BD×CD，

1×=2DE，

DE=，

在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE==．