題目列表(包括答案和解析)
一、選擇題：每小題5分，共60分．
BABDB DCABD BD
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卷相應題號的橫線上．
13．某校有教師200人，男學生1200人，女學生1000人，現用分層抽樣的方法從所有老師中抽取一個容量為n的樣本；已知從女學生中抽取的人數為80人，則n的值為：16
14．若△ABC三個內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且acosB+bcosA=csinC，則角C的大小為：
15．若
、
滿足約束條件
的最大值為：2
16．若
，且
，則實數x的取值范圍是：
三、解答題：本大題共6小題，共70分．把答案填在答題卷相應題號的答題區中．
17．（本小題滿分10分）
如圖，已知
，
，且
，
．
（I）試用
表示
；
（Ⅱ）設向量
和
的夾角為
，求
的值．
解：（I）設
，則
，
； …………3分
因
，
，
，
所以 
解得：
即 
． …………5分
（Ⅱ）由（I）知
，又
，
所以 
)
(
)=
，
…………8分
故 
． …………10分
18．（本小題滿分10分）
甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分配到
四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙兩人同時被分配到
崗位服務的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人被分配到不同崗位服務的概率．
解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時被分到崗位服務為事件
，
那么
，
即甲、乙兩人同時被分到崗位服務的概率是
． …………5分
（Ⅱ）設甲、乙兩人同時被分到同一崗位服務為事件
，
那么
，
故甲、乙兩人被分到不同崗位服務的概率是
． …………10分
19．（本小題滿分12分）
如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，AB=AD=
，CA=CB=CD=BD=2．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大小．
解:(方法一)
（Ⅰ）連結OC．∵BO=DO，AB=AD，
BC=CD，
∴AO⊥BD，CO⊥BD． …………3分
在△AOC中，由已知得AC=2，AO=1，CO=
，
∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∴AO
平面BCD． …………6分
（Ⅱ）分別取AC、BC的中點M、E，連結OM、ME、OE，則
ME∥AB，OE∥DC．
∴
（或其補角）等于異面直線AB與CD所成的角． …………9分
在△OME中，
又
是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴
∴
∴異面直線AB與CD所成角的大小為
…………12分
(方法二)
（Ⅰ）同方法一． …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AO⊥OC，AO⊥BD，CO⊥BD．
以O為原點，建立空間直角坐標系如圖， …………7分
則A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0) ． …………10分
所以 
，
∴異面直線AB與CD所成角的大小為
…………12分
20．（本小題滿分12分）
數列
滿足
，且
．
（I）求
，并證明數列
是等比數列；
（II）求
．
解：（I）
，
； …………2分
又，
， …………4分
且 
所以數列
是以-2為首項，3為公比的等比數列． …………6分
（II）由（I）得
， 
． …………8分
…………10分
…………12分
21.（本小題滿分13分）
已知函數
，在任意一點
處的切線的斜率為
.
（I）求函數
的單調區間；
（II）若
在
上的最小值為
，求在R上的極大值.
21. 解：（I）因
,所以
； …………2分
故 
, 
，
，
，
, 
. …………4分
由
知在
和
上是增函數，
由
知在（-1，2）上為減函數. …………8分
（II）由（I）知在（-3，-1）上是增函數，在（-1，2）上為減函數，
所以 在
上的最小值是
或
，極大值為
. …………10分
而
，
,
，
∴在上的最小值是
,∴
,
. …………12分
，
即所求函數在R上的極大值為
…………13分
22．（本小題滿分13分）
如圖，傾斜角為
的直線經過拋物線
的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點．
（I）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；
（II）若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明
為定值，并求此定值．
解：（I）設拋物線的標準方程為
，則
，從而
．
因此拋物線焦點F的坐標為（2，0），準線方程為
． ……………4分
（II）作AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C、D，
則由拋物線的定義知：|FA|=|AC|，|FB|=|BD|．
記A、B的橫坐標分別為xA、xB，則
|FA|＝|AC|＝
解得
； ……………7分
|FB|＝|BD|＝
解得
． ……………9分
記直線m與AB的交點為E，則
，
所以
． ……………12分
故
． ……………13分
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