Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1的左右頂點(diǎn)分別為A、B，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為以F₁、F₂為直徑的圓上異于F₁、F₂的動(dòng)點(diǎn)，直線PF₁、PF₂分別交橢圓C于M、N和D、E．
（1）證明：

AP

•

BP

為定值K；
（2）當(dāng)K=-2時(shí)，問是否存在點(diǎn)P，使得四邊形DMEN的面積最小，若存在，求出最小值和P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，知c²=a²-（a²-1）=1，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），設(shè)P（cosθ，sinθ），能證明

AP

•

BP

=K（定值）．
（2）當(dāng)K=-2時(shí)，橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．設(shè)DE：y=k（x+1），代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0，設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則|DE|=

k2+1

|x1-x2|  =

4 3 • k2+1

2+3k2

．由DE⊥MN，同理，得：|MN|=

4 3 [(- 1 k )2 +1]

2+3(- 1 k )2

=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

．由此能求出四邊形DMEN的面積最小值和此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，
∴c²=a²-（a²-1）=1，
∴C=1，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∵P為以F₁、F₂為直徑的圓上，
即P是圓心為（0，0），半徑為1的圓上一點(diǎn)，
∴設(shè)P（cosθ，sinθ），
∵A（-a，0），B（a，0）
∴

AP

=(cosθ+a，sinθ)，

BP

=(cosθ-a，sinθ)，
∴

AP

•

BP

=（cosθ+a，sinθ）•（cosθ-a，sinθ）
=cos²θ-a²+sin²θ
=1-a²
=K（定值）．
（2）當(dāng)K=-2時(shí)，1-a²=-2，a²=3，
橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
設(shè)DE：y=k（x+1），代入

x2

3

+

y2

2

=1，消去y，得
（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0，
設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則

x1+x2=- 6k2 2+3k2 x1x2= 3k2-6 2+3k2

，
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 •  k2+1

3k2+2

，
∴|DE|=

k2+1

|x1-x2|  =

4 3 • k2+1

2+3k2

．
∵P為以F₁、F₂為直徑的圓上異于F₁、F₂的動(dòng)點(diǎn)，
∴PF₁⊥PF₂，∴DE⊥MN，
∴設(shè)MN：y=-

1

k

(x+1)．
同理，得：
|MN|=

4 3 [(- 1 k )2 +1]

2+3(- 1 k )2

=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

．
∴四邊形DMEN的面積
S=

|DE|•|MN|

2

=

1

2

•

4 3 (k2+1)

2+3k2

•

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

，
令u=k2+

1

k2

，得S=

24(2+u)

13+6u

=4-

4

13+6u

，
∵u=k2+

1

k2

≥2，
∴當(dāng)k=±1時(shí)，u=2，S=

96

25

．
故四邊形DMEN的面積最小值為

96

25

，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．