題目列表(包括答案和解析)
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邊長為1的等邊三角形ABC中，沿BC邊高線AD折起，使得折后二面角B－AD－C為60°，則點A到BC的距離為________，點D到平面ADC的距離為________．
如圖(1)，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD＝AE，F是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖(2)所示的三棱錐A－BCF，其中
．
(1)證明：DE∥平面BCF；
(2)證明：CF⊥平面ABF；
(3)當
時，求三棱錐F－DEG的體積VF－DEG．
一、選擇題
1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C
二、填空題（第一空2分，第二空3分，13題反之）
9． 10．
11． 12．
13．①②③；② 14．
三、解答題
15．解：（1）由已知得，……………………2分
（舍），………………………4分
在三角形ABC中，C=60°. ……………………………6分
（2）…………8分
又
……………………10分
……………………13分
16．[解法一]
（1）證：都為等腰直角三角形，
，………2分
又
……………………4分
（2）解：連AC1交A1C于E點，取AD中點F，連EF、CF，則EF//C1D
是異面直線A1C與C1D所成的角（或補角）…………5分
在………………8分
則異面直線A1C與C1D所成角的大小為………………9分
（3）解：延長A1D與AB延長線交于G點，連結CG
過A作AH⊥CG于H點，連A1H，
平面ABC，（三垂線定理）
則是二面角A1―CG―A的平面角，即所求二面角的平面角……10分
在直角三角形ACG中，，
……………………11分
在直角三角形A1AH中，，………………13分
即所求的二面角的大小為…………14分
[解法二]向量法（略）
17．解：（1）∵切線在兩坐標軸上的截距相等，
∴當截距不為零時，設切線方程為，
又∵圓C：，
∴圓心C（－1，2）到切線的距離等于圓半徑，
即：……………………4分
當截距為零時，設
同理可得
則所求切線的方程為：
或
（2）∵切線PM與半徑CM垂直，
……………………………………8分
∴動點P的軌跡是直線……………………10分
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值.
而|PO|的最小值為點O到直線的距離………11分
可得：
則所求點坐標為………………………………13分
18．（1）證明：上
………………1分 ………2分
……………………4分
是首項為2，公比為2的等比數列.
（2）解：由（1）可得，………………………………6分
所以 ……………………8分
（3）
=………………10分
當；…………………………11分
當………………12分
當用數學歸納法證明如下：
當
假設時成立
即
即
當
綜上可知
…………………………14分
綜上可知當；
當
19．解：（1）由題意知
則雙曲線方程為：…………………………3分
（2）設，右準線，
設PQ方程為：
代入雙曲線方程可得：
由于P、Q都在雙曲線的右支上，所以，
…………………………4分
……4分
由于
由可得：…………………………6分
……………………………………7分
此時
（II）存在實數，滿足題設條件.
的直線方程為：
令得 即
即
又
把（3）（4）代入（2）得：……（5）………………（10分）
由（1）（5）得：……………（11分）
又
令……………………13分
故存在實數μ，滿足題設條件.
20．證明：（I）
………………………………1分
又
……………………………………2分
………………4分
（II）當時，時，
∴只須證明當時，………………………………5分
由②，知A>0，…………………………………………6分
為開口向上的拋物線，其對稱軸方程為
又……9分
，有
為[0，2]上的增函數.
時，有
即……………………………………………13分
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