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袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率為,現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的，用X表示取球終止所需要的取球次數(shù).

（1）求袋中所有的白球的個數(shù)；

（2）求隨機(jī)變量X的概率分布；

（3）求甲取到白球的概率.

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袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)既終止，每個球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的，用 ξ表示取球終止所需要的取球次數(shù).

（1）求袋中所有的白球的個數(shù)；

（2）求隨機(jī)變量ξ的概率分布；

（3）求甲取到白球的概率.

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.

1.           2.          3.          4.         5.68    

 6. 4            7. 7             8.        9.    

10. 若點(diǎn)P在兩漸近線上的射影分別為、，則必為定值

11.②③          12.         13.1        14.

二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.

15. 解: (Ⅰ)因?yàn)?sub>,∴,則…………………………(4分)

  ∴……………………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)由,得,∴……………………………(9分)

   則 ……………………………(11分)

由正弦定理,得,∴的面積為………(14分)

16. (Ⅰ)解:因?yàn)?sub>,,且,

所以…………………………………………………………………………(4分)

   又,所以四邊形為平行四邊形,則……………………(6分)

   而,故點(diǎn)的位置滿足……………………………………(7分)

(Ⅱ)證: 因?yàn)閭?cè)面底面,,且,

所以,則………………………………………………(10分)

   又,且,所以…(13分)

   而,所以………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)因?yàn)?sub>,所以的面積為()…………(2分)

   設(shè)正方形的邊長為,則由,得,

解得,則……………………………………………………(6分)

   所以,則…(9分)

   (Ⅱ)因?yàn)?sub>,所以…(13分)

   當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,此時(shí).所以當(dāng)長為時(shí),有最小值1…………(15分)

18. 解:(Ⅰ)設(shè)圓心,則,解得……………………(3分)

則圓的方程為,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得,故圓的方程為…5分)

(Ⅱ)設(shè),則,且………………(7分)

==,

所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)……………………………(10分)

(Ⅲ)由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè),

,由,

得 ……………………………………………(11分)

  因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是該方程的解,故可得…………………(13分)

  同理,,

所以=

  所以,直線和一定平行…………………………………………………(15分)

19. (Ⅰ)解:因?yàn)?sub>…………………………………(2分)

由；由,

所以在上遞增,在上遞減 …………………………(4分)

欲在上為單調(diào)函數(shù),則……………………………………(5分)

(Ⅱ)證:因?yàn)?sub>在上遞增,在上遞減,

所以在處取得極小值(7分)

 又,所以在上的最小值為 ……………(9分)

 從而當(dāng)時(shí),,即……………………………………(10分)

(Ⅲ)證:因?yàn)?sub>,所以即為,

   令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0

在上有解,并討論解的個數(shù)………………………………………………(12分)

   因?yàn)?sub>,,

所以  ①當(dāng)時(shí),,

所以在上有解,且只有一解 ……(13分)

②當(dāng)時(shí),,但由于,

所以在上有解,且有兩解 ……………………………………………(14分)

③當(dāng)時(shí),,所以在上有且只有一解；

當(dāng)時(shí),,

所以在上也有且只有一解……………………………………………(15分)

綜上所述, 對于任意的,總存在,滿足,

且當(dāng)時(shí),有唯一的適合題意；

當(dāng)時(shí),有兩個適合題意……………………………………………………(16分)

(說明:第(Ⅱ)題也可以令,,然后分情況證明在其值域內(nèi),并討論直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)即可得到相應(yīng)的的個數(shù))

20.（Ⅰ）解：由題意得,,所以=……………(4分)

（Ⅱ）證:令,,則=1……………………………………(5分)

所以=（1）,=（2）,

（2）―（1）,得―=,

化簡得（3）……………………………………………………(7分)

（4）,（4）―（3）得……(9分)

在（3）中令,得,從而為等差數(shù)列 …………………………………(10分)

（Ⅲ）記,公差為,則=…………(12分)

則,

………………………………(14分)

則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立……(16分)

數(shù)學(xué)附加題部分

21.A．（幾何證明選講選做題）

解：因?yàn)镻B=PD+BD=1+8=9,=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,連結(jié)AD,在中,得……(5分)

又,所以 …………………………………………………………………(10分)

B．（矩陣與變換選做題）

解: (Ⅰ)設(shè),則有=,=,

所以,解得 …………………………………………(4分)

所以M=,從而= ………………………………………………(7分)

(Ⅱ)因?yàn)?sub>且m：2，

所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,這就是直線l的方程 ……………………………(10分)

C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）

解：將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程：………………………………(2分)

   可化為   ………………………………………(5分)

在上任取一點(diǎn)A,則點(diǎn)A到直線的距離為

,它的最大值為4 ………………(10分)

D．（不等式選講選做題）

證:左=

…………………………(5分)

……………………………………………………(10分)

22．解:以O(shè)A、OB所在直線分別x軸，y軸,以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，…(2分)

（Ⅰ）設(shè)平面PDB的法向量為,

  由,

   所以=………………………………(5分)

  （Ⅱ）設(shè)平面ABP的法向量，，

   ,，

   ,而所求的二面角與互補(bǔ),

所以二面角A―PB―D的余弦值為………………………………………………(10分)

23．解：(Ⅰ)設(shè)袋中原有n個白球,由題意知：，所以=12，

解得n=4(舍去),即袋中原有4個白球………………………………………(3分)

(Ⅱ)由題意,的可能取值為1，2，3，4……………………………………………(4分)

,

所以，取球次數(shù)的分布列為：

1

2

3

4

P

(6分)

    ……………………………………………………………(8分)

(Ⅲ)因?yàn)榧紫热?所以甲只有可能在第1次和第3次取球,記“甲取到白球”的事件為A，

則或 “=3”）,所以……………(10分)