Question

袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率為，現有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時既終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用 ξ表示取球終止所需要的取球次數.

（1）求袋中所有的白球的個數；

（2）求隨機變量ξ的概率分布；

（3）求甲取到白球的概率.

Answer 1

思路分析：（1）求袋中原有白球的個數，需設出白球的個數，利用古典概型公式，列出方程組求解;（2）寫出ξ的可能取值，求出相應概率，寫出ξ的分布列;（3）利用所求的分布列，甲取到白球的概率為P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5).

解：(1)設袋中原有n個白球,由題意知.

可得 n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3個白球.

(2)由題意, ξ的可能取值為1,2,3,4,5.

P(ξ=1)=;P(ξ=2)=;P(ξ=3)=;

P(ξ=4)=;

P(ξ=5)=

所以ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4	5
P

     (3)因為甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第五次取球,

記“甲取到白球”為事件A，則P（A）=P（ξ=1）+P(ξ=3)+P(ξ=5)=.

    深化升華 本題考查知識面廣，包括等可能事件，互斥事件，隨機變量的概率分布等知識，可以運用方程組的思想求出白球的個數.