題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐S—ABCD中，側棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是菱形，AC與BD交于O點．
(Ⅰ)求證：AC⊥平面SBD；
(Ⅱ)若E為BC中點，點P在側面△SCD內及其邊界上運動，并保持PE⊥AC，試指出動點P的軌跡，并證明你的結論．
（本小題滿分10分）
如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC＝45°，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點．
（1）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（2）求平面OAB與平面OCD所成二面角的余弦值．
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.
1. 
2. 
3.
4. 
5.68
6. 4
7. 7
8. 
9.
10. 若點P在兩漸近線上的射影分別為
、
，則
必為定值
11.②③ 12.
13.1 14.
二、解答題：本大題共6小題，計90分.
15. 解: (Ⅰ)因為
,∴
,則
…………………………(4分)
∴
……………………………………………………………(7分)
(Ⅱ)由
,得
,∴
……………………………(9分)
則
……………………………(11分)
由正弦定理,得
,∴
的面積為
………(14分)
16.
(Ⅰ)解:因為
,
,且
,
所以
…………………………………………………………………………(4分)
又
,所以四邊形
為平行四邊形,則
……………………(6分)
而
,故點
的位置滿足
……………………………………(7分)
(Ⅱ)證: 因為側面
底面
,
,且
,
所以
,則
………………………………………………(10分)
又
,且
,所以
…(13分)
而
,所以
………………………………………(14分)
17. 解:(Ⅰ)因為
,所以
的面積為
(
)…………(2分)
設正方形
的邊長為
,則由
,得
,
解得
,則
……………………………………………………(6分)
所以
,則
…(9分)
(Ⅱ)因為
,所以
…(13分)
當且僅當
時取等號,此時
.所以當
長為
時,
有最小值1…………(15分)
18. 解:(Ⅰ)設圓心
,則
,解得
……………………(3分)
則圓的方程為
,將點
的坐標代入得
,故圓的方程為
…5分)
(Ⅱ)設
,則,且
………………(7分)
=
=
,
所以
的最小值為
(可由線性規劃或三角代換求得)……………………………(10分)
(Ⅲ)由題意知, 直線
和直線
的斜率存在,且互為相反數,故可設
,
,由
,
得
……………………………………………(11分)
因為點的橫坐標
一定是該方程的解,故可得
…………………(13分)
同理,
,
所以
=
所以,直線
和
一定平行…………………………………………………(15分)
19. (Ⅰ)解:因為
…………………………………(2分)
由
；由
,
所以
在
上遞增,在
上遞減
…………………………(4分)
欲在
上為單調函數,則
……………………………………(5分)
(Ⅱ)證:因為在上遞增,在上遞減,
所以在處取得極小值
(7分)
又
,所以在
上的最小值為
……………(9分)
從而當
時,
,即
……………………………………(10分)
(Ⅲ)證:因為
,所以
即為
,
令
,從而問題轉化為證明方程=0
在
上有解,并討論解的個數………………………………………………(12分)
因為
,
,
所以 ①當
時,
,
所以
在上有解,且只有一解 ……(13分)
②當
時,
,但由于
,
所以在上有解,且有兩解 ……………………………………………(14分)
③當
時,
,所以在上有且只有一解；
當
時,
,
所以在
上也有且只有一解……………………………………………(15分)
綜上所述, 對于任意的
,總存在
,滿足,
且當
時,有唯一的
適合題意；
當時,有兩個適合題意……………………………………………………(16分)
(說明:第(Ⅱ)題也可以令
,
,然后分情況證明
在其值域內,并討論直線
與函數
的圖象的交點個數即可得到相應的的個數)
20.（Ⅰ）解：由題意得,
,所以
=
……………(4分)
（Ⅱ）證:令
,
,則
=1……………………………………(5分)
所以
=
（1）,
=
（2）,
（2）―（1）,得
―
=
,
化簡得
（3）……………………………………………………(7分)
（4）,（4）―（3）得
……(9分)
在（3）中令,得
,從而
為等差數列
…………………………………(10分)
（Ⅲ）記
,公差為
,則
=
…………(12分)
則
,
………………………………(14分)
則
,當且僅當
,即
時等號成立……(16分)
數學附加題部分
21.A．（幾何證明選講選做題）
解：因為PB=PD+BD=1+8=9,
=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,連結AD,在
中,得
……(5分)
又
,所以
…………………………………………………………………(10分)
B．（矩陣與變換選做題）
解: (Ⅰ)設
,則有
=
,
=
,
所以
,解得
…………………………………………(4分)
所以M=
,從而
=
………………………………………………(7分)
(Ⅱ)因為
且m：2
，
所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,這就是直線l的方程 ……………………………(10分)
C．（坐標系與參數方程選做題）
解：將極坐標方程
轉化為普通方程：
………………………………(2分)
可化為
………………………………………(5分)
在上任取一點A
,則點A到直線的距離為
,它的最大值為4 ………………(10分)
D．（不等式選講選做題）
證:左=
…………………………(5分)
……………………………………………………(10分)
22．解:以OA、OB所在直線分別x軸，y軸,以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則
，
…(2分)
（Ⅰ）設平面PDB的法向量為
,
由
,
所以
=
………………………………(5分)
（Ⅱ）設平面ABP的法向量
，
，
,
，
,而所求的二面角與
互補,
所以二面角A―PB―D的余弦值為
………………………………………………(10分)
23．解：(Ⅰ)設袋中原有n個白球,由題意知：
，所以
=12，
解得n=4(舍去
),即袋中原有4個白球………………………………………(3分)
(Ⅱ)由題意,
的可能取值為1，2，3，4……………………………………………(4分)
,
所以，取球次數的分布列為：
1
2
3
4
P
(6分)
……………………………………………………………(8分)
(Ⅲ)因為甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,記“甲取到白球”的事件為A，
則
或
“=3”）,所以
……………(10分)
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